求解三元分式方程组并证明解的唯一性
嘿，这个分式方程组看起来有点绕，但其实用取倒数拆分的技巧就能轻松拆解，还能顺便证明解的唯一性，我一步步给你理清楚：
首先明确原方程组：
$$\begin{cases} \frac{xyz}{x+z}=\frac{mp}{m+p} \[1ex] \frac{xyz}{y+z}=\frac{np}{n+p} \[1ex] \frac{xyz}{x+y}=\frac{mn}{m+n} \end{cases}$$
已知 $mnp>0$，这说明 $m,n,p$ 要么全正要么全负，同时题目隐含所有分母都不为0（否则方程无意义），所以 $x+z \neq 0$、$y+z \neq 0$、$x+y \neq 0$，且 $m+p \neq 0$、$n+p \neq 0$、$m+n \neq 0$。另外如果 $xyz=0$，左边全为0，但右边的分式因 $mnp>0$ 不可能为0，所以 $x,y,z$ 都不为0，这为我们取倒数提供了前提。
第一步：取倒数拆分简化方程
对每个方程两边取倒数，你会发现右边的分式可以拆成两个倒数之和：
- 第一个方程取倒数：$\frac{x+z}{xyz} = \frac{m+p}{mp}$，拆分左边得：$\frac{1}{yz} + \frac{1}{xy} = \frac{1}{m} + \frac{1}{p}$
- 第二个方程取倒数：$\frac{y+z}{xyz} = \frac{n+p}{np}$，拆分左边得：$\frac{1}{xz} + \frac{1}{xy} = \frac{1}{n} + \frac{1}{p}$
- 第三个方程取倒数：$\frac{x+y}{xyz} = \frac{m+n}{mn}$，拆分左边得：$\frac{1}{yz} + \frac{1}{xz} = \frac{1}{m} + \frac{1}{n}$
第二步：换元转化为线性方程组
为了简化计算，设三个新变量：
$a = \frac{1}{xy}$，$b = \frac{1}{yz}$，$c = \frac{1}{xz}$
代入上面的式子，得到一个简单的线性方程组：
$$\begin{cases} a + b = \frac{1}{m} + \frac{1}{p} \[1ex] a + c = \frac{1}{n} + \frac{1}{p} \[1ex] b + c = \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \end{cases}$$
这个线性方程组的解法很直接：把三个方程相加，得到 $2(a+b+c) = 2\left(\frac{1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{1}{p}\right)$，所以 $a+b+c = \frac{1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{1}{p}$。
用这个式子分别减去每个方程，就能求出唯一的解：
- $c = \frac{1}{n}$
- $b = \frac{1}{m}$
- $a = \frac{1}{p}$
第三步：回代求解原变量
把 $a,b,c$ 换回原来的表达式：
- $a = \frac{1}{xy} = \frac{1}{p}$ → $xy = p$
- $b = \frac{1}{yz} = \frac{1}{m}$ → $yz = m$
- $c = \frac{1}{xz} = \frac{1}{n}$ → $xz = n$
把这三个式子相乘：$(xy)(yz)(xz) = pmn$，即 $x2y2z^2 = mnp$，因为 $mnp>0$，开平方得 $xyz = \pm \sqrt{mnp}$。
接下来分别计算 $x,y,z$：
- $x = \frac{(xy)(xz)}{xyz} = \frac{pn}{\pm \sqrt{mnp}} = \pm \frac{\sqrt{mnp}}{m}$
- $y = \frac{(xy)(yz)}{xyz} = \frac{pm}{\pm \sqrt{mnp}} = \pm \frac{\sqrt{mnp}}{n}$
- $z = \frac{(yz)(xz)}{xyz} = \frac{mn}{\pm \sqrt{mnp}} = \pm \frac{\sqrt{mnp}}{p}$
第四步：证明解的唯一性
整个过程都是等价变形（所有分母都不为0，取倒数、换元都是可逆操作），线性方程组的解 $a,b,c$ 是唯一的，回代后得到的 $xy,yz,xz$ 也唯一，而 $xyz$ 只有 $\pm \sqrt{mnp}$ 两种可能（正数的平方根只有两个），对应的 $x,y,z$ 也就只有你找到的那两组解，没有其他可能性。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者J__n
