关于是否存在仅取值于ℝ的非常值全纯函数的疑问

你完全猜对了！不存在这样的非常值全纯函数（这里默认定义域$\Omega$是连通的——这是复分析中讨论全纯函数时的常见前提）。我给你两种清晰的思路来解释，其中就包括你提到的恒等定理：

• 思路一：柯西-黎曼方程直接推导
  把$f(z)$拆成实部和虚部的形式：$f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$，其中$z = x + iy$。由于$f(z)$恒取实数值，所以虚部$v(x,y) \equiv 0$对所有$(x,y) \in \Omega$都成立。
  因为$f$是全纯函数，它必须满足柯西-黎曼方程：
  $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$
  代入$v \equiv 0$，就能得到$\frac{\partial u}{\partial x} = 0$且$\frac{\partial u}{\partial y} = 0$。这说明实部$u$在$\Omega$的每一个连通分支上都是常数，因此如果$\Omega$是连通区域，$f(z)$只能是常数函数。

• 思路二：利用恒等定理验证
  复分析中的恒等定理指出：如果两个全纯函数在$\Omega$的某个有聚点的子集上相等，那么它们在整个$\Omega$上都相等。
  因为$f(z)$恒为实数，所以$f(z) = \overline{f(z)}$对所有$z \in \Omega$成立。这里$f(z)$是全纯函数，而$\overline{f(z)}$是反全纯函数（只有当$f$是常数时，它才同时是全纯的）。
  换个角度看：假设$f$不是常数，那么它在某个点$z_0 \in \Omega$处的导数$f'(z_0) \neq 0$，根据全纯函数的局部同胚性，$f$会把$z_0$附近的一个开集映射到复平面上的一个开集，但题目中$f$的取值都在实数轴上——实数轴是一维的，不可能包含复平面的开集，这就产生了矛盾。因此$f'(z) \equiv 0$，即$f$是常数函数。
  另外也可以用幂级数展开辅助理解：$f$在$z_0$的邻域内可展开为幂级数$f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$。由于$f(z)$都是实数，对于$z_0$附近的实轴点$z = z_0 + t$（$t \in \mathbb{R}$），幂级数的和为实数，这意味着所有系数$a_n$都是实数。但此时幂级数的虚部恒为0，即$\sum_{n=0}^\infty \text{Im}(a_n)(z-z_0)^n = 0$对所有$z \in \Omega$成立，根据恒等定理，所有$\text{Im}(a_n) = 0$，且结合柯西-黎曼方程可推出除常数项$a_0$外，其他系数$a_n$都必须为0，所以$f(z) = a_0$是常数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ludwig