关于特征p域上n次单位根的取值域疑问——Dummit & Foote《抽象代数》习题13.6.4相关

我最近在做Dummit & Foote《抽象代数》里的习题13.6.4，题目要求是：

证明：若$n=p^km$，其中$p$是素数，且$m$与$p$互素，那么在特征为$p$的域$F$上，恰好有$m$个不同的$n$次单位根。

这里我有个困惑：这些$x^{n-1$的根到底应该取在什么地方？总不能限定只在域$F$内部吧？举个实际例子，比如$F=\mathbb{F}_2$，$n=2\cdot3=6$，$F$本身只有2个元素，显然不可能在$F$里找到3个不同的$x}6-1$的根。

我看过positrón0802给出的一个解题思路，大致步骤是这样的：
因为域$F$的特征为$p$，所以有恒等式$x^n-1=(xm-1)^{pk}$，这意味着$x^{n-1$的根完全等同于$x}m-1$的根。接着通过求导可以验证，$x^{m-1$没有重根，因此**$x}m-1$的那$m$个不同的根，就是$x^n-1$的全部$m$个不同的$n$次单位根**。

这里解题思路里的加粗部分，看起来是在暗示这些根是取在$x^n-1$在$F$上的分裂域里的？我这个理解是对的吗？而且我翻了教材，没找到相关的参考说明，所以想确认一下。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Paprika7191