微分几何习题求助：证明ω ∧ dω = 0

我在做微分几何的练习题时卡壳了，所以来这里求助。题目如下：

设$\omega$是流形$M$上的微分1-形式，$f: M \to \mathbb{R}$是一个处处非零的函数，满足$d(f\omega)=0$。证明$\omega \wedge d\omega =0$。

我的尝试 #

我已经推导出：
$$d(f\omega)= df\wedge \omega + f d \omega =0$$
因为$f(x)$在$M$上处处不为0，所以可以变形得到：
$$d\omega = -\frac{1}{f} df \wedge \omega$$
接下来我把这个代入要证明的式子，得到：
$$\omega \wedge d\omega = -\frac{1}{f} \omega \wedge df \wedge \omega$$
但到这里就不知道怎么继续推导了，有没有大佬能帮我梳理一下后续步骤？

解答思路 #

其实这里核心是用到微分形式外积的反交换性：对于次数分别为$p$和$q$的微分形式$\alpha$和$\beta$，有$\alpha \wedge \beta = (-1)^{pq} \beta \wedge \alpha$。

咱们一步步拆解$\omega \wedge df \wedge \omega$：

1. 先交换中间的$df$和右侧的$\omega$（两者都是1-形式，$p=q=1$）：
   $$df \wedge \omega = (-1)^{1\times1} \omega \wedge df = -\omega \wedge df$$
2. 代入原式得到：
   $$\omega \wedge df \wedge \omega = \omega \wedge (-\omega \wedge df) = -\omega \wedge \omega \wedge df$$
3. 对于任意1-形式$\omega$，$\omega \wedge \omega = 0$（因为$\omega \wedge \omega = -\omega \wedge \omega$，移项后$2\omega \wedge \omega=0$，在实数域中必然为0）。因此：
   $$-\omega \wedge \omega \wedge df = -0 \wedge df = 0$$

最后把这个结果代回之前的式子：
$$\omega \wedge d\omega = -\frac{1}{f} \times 0 = 0$$
这样就完成了证明。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jack