关于函数f(x)=a(a-x)在区间0≤x≤a上归一化过程的正确性验证

嘿，咱们来仔细过一遍你的归一化步骤，整体思路完全在线！不过中间换元环节的符号处理有点绕，但最终结果是对的，我帮你梳理得更清晰些：

首先，你抓准了归一化的核心条件，这步没问题：

$N^2\int_{0}{a} [f(x)]^2 dx = 1$

代入$f(x)=a(a-x)$后，得到$f(x)^2=a2(a-x)^2$，这一步也完全正确。

接下来换元$u=a-x$，则$du=-dx$，当$x=0$时$u=a$，$x=a$时$u=0$，正常的积分转换应该是：
$\int_{0}^{a}(a-x)2dx = \int_{a}^{0}u2(-du) = \int_{0}^{a}u2du$

你这里写了$-∫_{0}^{a}u2du$，其实是直接替换上下限没调整符号，但后续计算$[-\frac{u^3}{3}]_{0}{a}$时，相当于补回了这个符号，最终得到$-N^2a2(0-\frac{a^3}{3})=N2a^2\frac{a3}{3}$，和正确的积分结果一致，所以这步的符号小波折没影响最终结论。

之后你算出$N^2=\frac{3}{a5}$，进而得到$N=\frac{\sqrt{3}}{a^{2\sqrt{a}}$（也可以写成$\frac{\sqrt{3}}{a}{5/2}}$，形式更简洁），最后推导出归一化函数：
$f(x)=\frac{\sqrt{3}}{a^2\sqrt{a}} \cdot a(a-x) = \frac{\sqrt{3}}{a^{3/2}}(a-x)$

总的来说，你的归一化过程是正确的，只是换元时的符号处理可以更直接一点，不过结果完全没问题~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者DAM17