HMMT竞赛概率问题：抽取至同色8颗停止的条件概率计算

大家好，这道HMMT的概率题换个反向思路来解，会比正向硬算轻松不少！

问题背景 #

袋子里有800颗弹珠，共100种颜色，每种颜色恰好8颗。Anna每次不放回抽取1颗，直到抽到某一颜色的第8颗时立刻停止。已知Anna抽了699颗还没停止，求她抽第700颗时立刻停止的概率。

核心解题思路：反向等价转化 #

与其纠结已经抽出的699颗弹珠，不如把问题倒过来理解：我们关注袋子里剩下的101颗弹珠（800-699=101）。Anna抽了699颗仍未停止，说明前699颗里每种颜色最多7颗——也就是说剩下的每种颜色至少有1颗；而抽第700颗就停止，意味着这颗弹珠刚好是某颜色的第8颗，对应到反向视角，就是剩下的101颗弹珠满足特定的颜色分布条件。

用超几何分布推导概率 #

我们可以借助超几何分布来计算这个概率，初始表达式为：
$$
\text{概率} = \frac{\binom{792}{1} \cdot \binom{784}{1} \cdot \dots \cdot \binom{8}{1} \cdot \binom{700}{1}}{\binom{800}{100}}
$$
（注：原公式中的数字笔误已修正，每一项对应从每种颜色中选取符合条件的弹珠）

接下来我们对式子进行化简：

• 分子部分：99种颜色各取7颗（对应$8^{99}$，即99个8相乘），再结合排列规律补充剩余项，最终可化简为$7 \cdot 8^{99} \cdot 100!$
• 分母是从800颗弹珠中选取100颗的组合数$\binom{800}{100}$

因此，最终的概率表达式为：
$$
\text{概率} = \frac{7 \cdot 8^{99} \cdot 100!}{\dbinom{800}{100}}
$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Satish Ramanathan