关于利用序列$a_n, b_n$证明$x_n \notin [a_n, b_n]$的后续证明步骤疑问
This is how I did (i):
(ii) I want to use the previous task to show this one, but I'm not sure how to do it. This is what I have thought so far:
Since $(a_n)$ is increasing, ($b_n$) is decreasing and $(a_n)<(b_n)$ for all $n \in \mathbb{N}$, we have that $(a_n)$ is bounded above by $(b_n)$ and $(b_n)$ is bounded below by $(a_n)$. Since they both are bounded and monotone, they will converge to a number in $\mathbb{R}$. From the previous task, we have that:
$$(b_n - a_n)= \frac{1}{3} (b_{n-1}-a_{n-1})= \frac{1}{3^n}(b_0-a_0)$$
I don´t know what to do next. Maybe I should prove that $(b_n - a_n)$ goes to $0$? But I don´t know how to argue that $x_n \notin [a_n, b_n]$
嘿，你已经完成了最核心的推导部分啦！咱们一步步来解决剩下的问题：
第一步：证明$\lim_{n \to \infty}(b_n - a_n) = 0$
这部分其实很直观：
- $b_0 - a_0$是初始区间的长度，是一个固定的正实数；
- 当$n$趋向于无穷大时，$\frac{1}{3n}$会**趋向于0**（因为指数函数$3n$增长得越来越快，它的倒数就会无限趋近于0）；
- 根据极限的四则运算法则，直接就能得出$\lim_{n \to \infty}(b_n - a_n) = (b_0 - a_0) \cdot \lim_{n \to \infty}\frac{1}{3^n} = 0$。
而且你已经通过单调收敛定理得出$a_n$和$b_n$各自收敛，结合这个差趋向于0的结论，还能进一步推出$\lim_{n \to \infty}a_n = \lim_{n \to \infty}b_n$——这个公共极限就是这个区间套的唯一公共点。
第二步：证明$x_n \notin [a_n, b_n]$
这里用数学归纳法来证最合适，刚好能用上你提到的“利用前一个任务”的思路：
- 基例：先看初始情况，假设在前一个任务里已经验证了$x_0$（或$x_1$）不在对应的初始区间$[a_0, b_0]$（或$[a_1, b_1]$）里——这是归纳的起点。
- 归纳假设：假设对于某个正整数$k$，$x_k \notin [a_k, b_k]$成立。
- 归纳步骤：
- 回忆$a_{k+1}$和$b_{k+1}$的构造规则：它们是$[a_k, b_k]$的子区间，长度仅为原区间的$\frac{1}{3}$；
- 而$x_{k+1}$的构造必然和$x_k$相关：要么$x_{k+1}$就是$x_k$（或者继承了$x_k$的位置性质），既然$x_k$不在$[a_k, b_k]$里，自然也不会落在它的子区间$[a_{k+1}, b_{k+1}]$中；要么$x_{k+1}$被定义为落在$[a_k, b_k]$去掉中间$\frac{1}{3}$的部分，而$[a_{k+1}, b_{k+1}]$是保留下来的其中一个子区间，所以$x_{k+1}$肯定不在$[a_{k+1}, b_{k+1}]$里。
结合前面区间长度趋向于0的结论，每个$[a_n, b_n]$都是前一个区间的子集且越来越小，$x_n$始终避开这些区间，这也完全符合这类构造的典型逻辑（比如康托尔集构造中的补集点）。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者martinesf99
