整函数f(z)恒为常数的证明方法问询

嗨，我来帮你理清这个问题的解决思路，你之前尝试构造$g(z)=\text{Im } z \cdot f(z)$的路子确实走不通，因为$\text{Im } z$不是解析函数，换个方向用Liouville定理（有界整函数必为常数）来推导会更顺畅，步骤如下：

第一步：证明$f(z)$是有界整函数 #

我们可以把复平面分成两部分来分析：

• 当$|\text{Im } z| > 1$时：直接由题设条件$|f(z)| < \frac{1}{|\text{Im } z|}$，可得$|f(z)| < 1$，这部分区域内$f(z)$有界。
• 当$|\text{Im } z| \leq 1$时：这是一个包含实轴的带形区域。因为$f(z)$是整函数，它在实轴的任意邻域内都是解析的，而解析函数在收敛圆盘内必然有界。利用有限覆盖定理，整个带形区域$|\text{Im } z| \leq1$可以被有限个这样的收敛圆盘覆盖，因此$f(z)$在这个带形内也有界，设这个界为$M$。

综合两部分，$f(z)$在整个复平面上的界为$\max(M,1)$，即$f(z)$是有界整函数。

第二步：用Liouville定理推出$f(z)$为常数 #

根据Liouville定理，所有有界的整函数都必为常数，所以$f(z)=c$（$c$为复常数）。

第三步：进一步证明常数$c=0$ #

把$f(z)=c$代入原条件，可得$|c| < \frac{1}{|\text{Im } z|}$对所有$\text{Im } z \neq0$的点成立。当$|\text{Im } z| \to \infty$时，$\frac{1}{|\text{Im } z|} \to 0$，因此$|c| \leq 0$，只能是$c=0$。

这样就完整证明了$f(z)$不仅是常数，而且恒为0。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Parinn