狄拉克δ函数作为函数序列极限的解析证明问题

你找对方向啦！狄拉克δ函数作为广义函数，本身就是通过它对测试函数的积分作用来定义的——所以你打算通过验证「积分极限等于$g(0)$」的思路完全正确，这正是证明这类函数序列收敛到δ函数的标准方法。

首先明确核心逻辑：要证明函数序列$f_\varepsilon(x)$在广义函数意义下收敛到$\delta(x)$，只需要证明：对任意连续且具有紧支集（或者在无穷远处衰减足够快的光滑函数，比如Schwarz函数）的测试函数$g(x)$，都满足：
$$\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_{-\infty}^\infty f_\varepsilon(x)\cdot g(x) dx= g(0)$$

下面分别针对你提到的两个函数序列做解析证明：

1. 证明Cauchy分布序列收敛到δ(x) #

目标序列：$$f_\varepsilon(x)=\frac{\varepsilon}{\pi(x^{2+\varepsilon}2)}$$

步骤1：变量替换简化积分 #

令$t = \frac{x}{\varepsilon}$，则$x=\varepsilon t$，$dx=\varepsilon dt$，代入积分式：
$$
\begin{align*}
\int_{-\infty}^\infty \frac{\varepsilon}{\pi(x^{2+\varepsilon}2)}g(x)dx &= \int_{-\infty}^\infty \frac{\varepsilon}{\pi(\varepsilon^2t2+\varepsilon^2)}g(\varepsilon t)\cdot\varepsilon dt \
&= \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\pi(t^2+1)}g(\varepsilon t)dt
\end{align*}
$$

步骤2：应用控制收敛定理 #

• 当$\varepsilon\rightarrow0$时，对任意$t\in\mathbb{R}$，$g(\varepsilon t)\rightarrow g(0)$（因为$g$是连续函数）；
• 由于$g$是紧支集连续函数，它必然有界，即存在常数$M>0$，使得$|g(x)|\leq M$对所有$x$成立，因此$|g(\varepsilon t)|\leq M$；
• 控制函数$\frac{M}{\pi(t^{2+1)}$在$(-\infty,\infty)$上可积，且$\int_{-\infty}}\infty \frac{1}{\pi(t^2+1)}dt=1$（这是Cauchy分布的归一化性质）。

根据勒贝格控制收敛定理，我们可以把极限移到积分内部：
$$
\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\pi(t^2+1)}g(\varepsilon t)dt = g(0)\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\pi(t^2+1)}dt = g(0)\cdot1 = g(0)
$$

这就满足了δ函数的积分定义，因此$\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\frac{\varepsilon}{\pi(x^{2+\varepsilon}2)}=\delta(x)$。

2. 证明高斯函数序列收敛到δ(x) #

目标序列：$$f_\varepsilon(x)=\frac{1}{\varepsilon\sqrt{\pi}}e^{-x2/\varepsilon^2}$$

步骤1：变量替换简化积分 #

同样令$t = \frac{x}{\varepsilon}$，则$x=\varepsilon t$，$dx=\varepsilon dt$，代入积分式：
$$
\begin{align*}
\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\varepsilon\sqrt{\pi}}e^{-x2/\varepsilon^2}g(x)dx &= \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\varepsilon\sqrt{\pi}}e^{-t2}\cdot g(\varepsilon t)\cdot\varepsilon dt \
&= \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-t2}g(\varepsilon t)dt
\end{align*}
$$

步骤2：应用控制收敛定理 #

• 当$\varepsilon\rightarrow0$时，$g(\varepsilon t)\rightarrow g(0)$（同样依赖$g$的连续性）；
• $g$有界，故$|g(\varepsilon t)|\leq M$，控制函数$\frac{M}{\sqrt{\pi}}e^{-t2}$在$(-\infty,\infty)$上可积，且$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-t2}dt=1$（高斯分布的归一化性质）。

再次应用控制收敛定理：
$$
\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-t2}g(\varepsilon t)dt = g(0)\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-t2}dt = g(0)\cdot1 = g(0)
$$

因此$\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\frac{1}{\varepsilon\sqrt{\pi}}e^{-x2/\varepsilon^2}=\delta(x)$。

补充说明 #

为什么我们只需要对连续紧支集（或Schwarz）测试函数验证？因为广义函数的收敛是定义在这类测试函数空间上的——只要序列对所有这类测试函数都满足积分极限等于$g(0)$，就说明它在广义函数意义下收敛到δ函数，这也是δ函数作为广义函数的核心定义。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者XaveryXavier