关于欧式看涨期权风险中性价格对标的股票价格求导的推导疑问
嘿，我来帮你理清这里的问题——你在求导过程中犯了一个常见的细节错误，不是直接把$\frac{\partial N(d_1)}{\partial S_t}$当成$d_1N(d_1)$，而是要结合乘积法则+链式法则，再利用正态分布密度函数的特性来推导，咱们一步步来：
首先先修正一下你写的$d_1$公式（漏了分子里的$\tau$，这是关键细节）：
$$d_1 = \frac{\ln\left(\frac{S_t}{K}\right) + \left(r + \frac{1}{2}\sigma^2\right)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}$$
$$d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{\tau}$$
欧式看涨期权的风险中性价格为：
$$C_t = S_tN(d_1) - e^{-r\tau}KN(d_2)$$
接下来开始对$C_t$关于$S_t$求导：
应用乘积法则拆分两项：
$$\frac{\partial C_t}{\partial S_t} = \frac{\partial}{\partial S_t}\left[S_tN(d_1)\right] - e^{-r\tau}K\frac{\partial}{\partial S_t}\left[N(d_2)\right]$$处理第一项$\frac{\partial}{\partial S_t}\left[S_tN(d_1)\right]$：
根据乘积法则，这部分等于$N(d_1) + S_t \cdot \frac{\partial N(d_1)}{\partial S_t}$。
这里要注意：$N(x)$是正态分布的累积分布函数，它的导数是概率密度函数$N'(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e{-\frac{x2}{2}}$，再结合链式法则对$d_1$求导：
$$\frac{\partial N(d_1)}{\partial S_t} = N'(d_1) \cdot \frac{\partial d_1}{\partial S_t}$$
计算$\frac{\partial d_1}{\partial S_t}$：
$$\frac{\partial d_1}{\partial S_t} = \frac{\frac{1}{S_t}}{\sigma\sqrt{\tau}} = \frac{1}{S_t\sigma\sqrt{\tau}}$$处理第二项$\frac{\partial}{\partial S_t}\left[N(d_2)\right]$：
因为$d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{\tau}$，所以$\frac{\partial d_2}{\partial S_t} = \frac{\partial d_1}{\partial S_t} = \frac{1}{S_t\sigma\sqrt{\tau}}$，同理可得：
$$\frac{\partial N(d_2)}{\partial S_t} = N'(d_2) \cdot \frac{\partial d_1}{\partial S_t}$$把所有结果代入求导式：
$$\frac{\partial C_t}{\partial S_t} = N(d_1) + S_t \cdot N'(d_1) \cdot \frac{1}{S_t\sigma\sqrt{\tau}} - e^{-r\tau}K \cdot N'(d_2) \cdot \frac{1}{S_t\sigma\sqrt{\tau}}$$
化简后第一项的$S_t$抵消，得到：
$$\frac{\partial C_t}{\partial S_t} = N(d_1) + \frac{N'(d_1)}{\sigma\sqrt{\tau}} - \frac{e^{-r\tau}K N'(d_2)}{S_t\sigma\sqrt{\tau}}$$关键的抵消步骤：
我们可以证明后两项相加为0。利用$d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{\tau}$推导$N'(d_2)$和$N'(d_1)$的关系：
$$d_2^2 = d_1^2 - 2d_1\sigma\sqrt{\tau} + \sigma^2\tau$$
代入$N'(d_2)$的表达式：
$$N'(d_2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e{-\frac{d_22}{2}} = N'(d_1) \cdot e^{d_1\sigma\sqrt{\tau} - \frac{\sigma^2\tau}{2}}$$
再把$d_1\sigma\sqrt{\tau} = \ln\left(\frac{S_t}{K}\right) + (r+\frac{1}{2}\sigma^2)\tau$代入指数部分：
$$e^{d_1\sigma\sqrt{\tau} - \frac{\sigma^2\tau}{2}} = e^{\ln\left(\frac{S_t}{K}\right)+r\tau} = \frac{S_t}{K}e^{r\tau}$$
因此$N'(d_2) = N'(d_1) \cdot \frac{S_t}{K}e^{r\tau}$，把它代入后一项：
$$\frac{e^{-r\tau}K N'(d_2)}{S_t\sigma\sqrt{\tau}} = \frac{e^{-r\tau}K \cdot N'(d_1) \cdot \frac{S_t}{K}e^{r\tau}}{S_t\sigma\sqrt{\tau}} = \frac{N'(d_1)}{\sigma\sqrt{\tau}}$$
这样后两项$\frac{N'(d_1)}{\sigma\sqrt{\tau}} - \frac{N'(d_1)}{\sigma\sqrt{\tau}} = 0$，最终就得到：
$$\frac{\partial C_t}{\partial S_t} = N(d_1)$$
你之前的误区是错误地把$N(d_1)$的导数写成了$d_1N(d_1)$，而且不需要假设$S_t = e^{-r\tau}K$（这只有平值期权时才成立，不是普遍情况），核心是利用正态分布密度函数的特性抵消掉多余项。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者tinky
