线性映射秩不等式的证明及等号成立条件咨询

你说得没错，秩-零度定理确实是解决这个问题的核心，咱们一步步来拆解，把这个不等式和等号条件理清楚：

不等式的证明 #

首先明确几个关键的子空间关系：

• 线性映射 ( T: V \to U ) 的像 ( \text{im},T ) 是 ( U ) 的子空间，维数就是 ( \text{rank},T )；
• 线性映射 ( S: U \to W ) 的核 ( \ker S ) 是 ( U ) 的子空间，根据秩-零度定理，有 ( \text{rank},S + \dim\ker S = \dim U )；
• 复合映射 ( ST ) 的像 ( \text{im},ST ) 本质上是 ( S ) 作用在 ( \text{im},T ) 上得到的子空间，即 ( \text{im},ST = S(\text{im},T) )。

接下来对 ( S ) 在 ( \text{im},T ) 上的限制映射 ( S|{\text{im},T}: \text{im},T \to W ) 应用秩-零度定理：
[
\text{rank}(S|{\text{im},T}) + \dim(\ker(S|_{\text{im},T})) = \dim(\text{im},T)
]
这里：

• ( \text{rank}(S|_{\text{im},T}) ) 就是 ( \text{rank},ST )（因为限制映射的像就是 ( \text{im},ST )）；
• ( \ker(S|_{\text{im},T}) ) 是所有属于 ( \text{im},T ) 且被 ( S ) 映射到0的元素，也就是 ( \text{im},T \cap \ker S )。

代入后得到：
[
\text{rank},ST + \dim(\text{im},T \cap \ker S) = \text{rank},T
]
移项可得：
[
\dim(\text{im},T \cap \ker S) = \text{rank},T - \text{rank},ST \tag{1}
]

现在计算 ( \text{rank},S + \text{rank},T - \text{rank},ST )，把(1)代入进去：
[
\text{rank},S + \text{rank},T - \text{rank},ST = \text{rank},S + \dim(\text{im},T \cap \ker S)
]
再用秩-零度定理把 ( \text{rank},S ) 替换为 ( \dim U - \dim\ker S )：
[
\text{rank},S + \dim(\text{im},T \cap \ker S) = (\dim U - \dim\ker S) + \dim(\text{im},T \cap \ker S)
]
整理后得到：
[
= \dim U - \left( \dim\ker S - \dim(\text{im},T \cap \ker S) \right)
]
由于 ( \text{im},T \cap \ker S ) 是 ( \ker S ) 的子空间，所以 ( \dim\ker S - \dim(\text{im},T \cap \ker S) \geq 0 )（这部分是商空间 ( \ker S / (\text{im},T \cap \ker S) ) 的维数，必然非负）。因此：
[
\text{rank},S + \text{rank},T - \text{rank},ST \leq \dim U
]
移项后就得到我们要证明的不等式：
[
\text{rank},S + \text{rank},T \leq \text{rank},ST + \dim U
]

等号成立条件 #

等号成立当且仅当 ( \dim\ker S - \dim(\text{im},T \cap \ker S) = 0 )，也就是 ( \dim\ker S = \dim(\text{im},T \cap \ker S) )。

因为 ( \text{im},T \cap \ker S \subseteq \ker S )，两个子空间维数相等意味着它们是同一个子空间，即：
[
\ker S \subseteq \text{im},T
]
换句话说，当且仅当 ( S ) 的核完全包含在 ( T ) 的像中时，不等式取等号。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者snooker132