如何将下降幂形式的多项式转换为标准幂形式并求解系数bₙ,…,b₀？

首先，你的思路非常到位——用基变换和线性方程组来处理这个问题完全可行，先帮你解决两个核心疑问，再给你更高效的计算方法：

一、关于矩阵B的可逆性 #

你构造的矩阵B是范德蒙德矩阵，它的每一行对应r取0,1,2,...,n时的幂次值：第i行是[1, i, i², ..., iⁿ]。范德蒙德矩阵可逆的充要条件是所有行的自变量互不相同，这里0到n显然都是不同的整数，它的行列式是∏₀≤i<j≤n (j-i)，这个乘积是多个非零整数的乘积，肯定不为0，所以B一定可逆，这点完全不用担心。

二、更高效的系数转换方法：利用斯特林数 #

直接计算矩阵逆确实麻烦，但下降幂和标准幂之间的转换其实有现成的数学工具——带符号第一类斯特林数，能帮你快速写出系数关系，不用硬算矩阵。

先明确几个定义：

• 我们把r(r-1)...(r-k+1)称为r的k阶下降幂，记作r^(k)↓；
• 带符号第一类斯特林数s(k,m)满足：r^(k)↓ = ∑ₘ=0^k s(k,m) r^m，它的递推公式是：

  s(k, m) = s(k-1, m-1) - (k-1)*s(k-1, m)
  

  初始条件：s(0,0)=1，s(k,0)=0（k>0），s(0,m)=0（m>0）

回到你的多项式：
你的原式可以写成P(r) = ∑ₖ=0ⁿ aₖ r^(k)↓，把每个下降幂用斯特林数展开成标准幂：

P(r) = ∑ₖ=0ⁿ aₖ * [∑ₘ=0^k s(k,m) r^m]

交换求和顺序，合并相同幂次的项，就能得到标准形式的系数：

bₘ = ∑ₖ=mⁿ aₖ * s(k,m)

举个小例子验证一下（n=2时）：

• s(2,2)=1，s(2,1)=-1，s(2,0)=0
• s(1,1)=1，s(1,0)=0
• s(0,0)=1
  所以：
• b₂ = a₂*s(2,2) = a₂
• b₁ = a₂*s(2,1) + a₁*s(1,1) = -a₂ + a₁
• b₀ = a₀*s(0,0) = a₀
  和直接展开a₂r(r-1)+a₁r+a₀ = a₂r² + (a₁-a₂)r +a₀的结果完全一致。

三、回到你的矩阵方法 #

如果坚持用矩阵求解，B⁻¹A的每个元素其实就是带符号第一类斯特林数：矩阵B⁻¹A的第m行第k列元素恰好是s(k,m)，所以最终的系数向量b就是(B⁻¹A)a，和我们用斯特林数得到的结果等价。

另外，你也可以通过代入r=0,1,...,n这n+1个特殊值，直接解线性方程组得到b系数，本质和矩阵方法是一样的，但斯特林数的方法更直接，不用解方程组。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者M_k