关于分布导数的不定积分：含δ'(y)的二重积分严谨计算问题
你好！首先要指出，你最初的修正步骤里存在一个小疏漏，但我们可以从分布论的严格定义出发，把整个计算过程拆解清楚，得到正确结果，同时理解为什么不能直接套用全实轴上的分部积分公式。
首先明确核心前提：狄拉克δ函数的导数δ'作为分布，其作用在测试函数φ上的定义是：
$$\langle \delta', \varphi \rangle = -\langle \delta, \varphi' \rangle = -\varphi'(0)$$
但这个定义的适用场景是积分范围覆盖δ'的支撑点（即y=0），或者说φ是定义在全实轴上的测试函数。而你的积分中，内层积分是从a到x，这个区间是否包含0取决于x的取值（因为a<0<b）：当x<0时，[a,x]不包含0，此时内层积分对δ'(y)的积分结果为0；当x≥0时，[a,x]包含0，才能用分布的性质计算。
接下来我们用两种严谨方法推导正确结果：
方法一：交换积分顺序（分布论下的富比尼定理）
原积分的积分区域是$a \leq y \leq x \leq b$，我们可以交换积分顺序（对于分布与测试函数的乘积积分，交换顺序是合法的）：
$$
I = \int_a^b dx \int_a^x dy , f(y)\delta'(y) = \int_a^b dy , f(y)\delta'(y) \int_y^b dx
$$
计算外层的x积分：$\int_y^b dx = b - y$，因此积分变为：
$$
I = \int_a^b f(y)(b - y)\delta'(y) dy
$$
现在这是分布δ'作用在测试函数$g(y) = f(y)(b - y)$上的积分，根据分布导数的定义：
$$
\langle \delta', g \rangle = -\langle \delta, g' \rangle
$$
计算$g'(y)$：
$$
g'(y) = f'(y)(b - y) + f(y)(-1)
$$
代入δ函数的筛选性质$\langle \delta, h \rangle = h(0)$，得到：
$$
I = -g'(0) = -\left[ f'(0)(b - 0) - f(0) \right] = f(0) - b f'(0)
$$
方法二：分步计算内层积分（按x的范围拆分）
我们把原积分按x的取值拆分为$x \in [a,0)$和$x \in [0,b]$两部分：
$$
I = \int_a^0 dx \int_a^x dy , f(y)\delta'(y) + \int_0^b dx \int_a^x dy , f(y)\delta'(y)
$$
对于$x \in [a,0)$：区间$[a,x]$不包含0，而δ'(y)的支撑仅在y=0，因此内层积分结果为0，这部分积分整体为0。
对于$x \in [0,b]$：区间$[a,x]$包含0，我们对应用户的分部积分思路，但要严谨应用分布的分部积分：
$$
\int_a^x dy , f(y)\delta'(y) = \left. f(y)\delta(y) \right|_a^x - \int_a^x dy , f'(y)\delta(y)
$$- 第一项$\left. f(y)\delta(y) \right|_a^x = f(x)\delta(x) - f(a)\delta(a)$，由于$a \neq 0$，$\delta(a)=0$，因此第一项为$f(x)\delta(x)$。
- 第二项$\int_a^x dy , f'(y)\delta(y) = f'(0)$（因为0在$[a,x]$内，δ函数筛选出$f'(0)$）。
因此这部分积分变为：
$$
\int_0^b dx \left[ f(x)\delta(x) - f'(0) \right] = \int_0^b f(x)\delta(x)dx - f'(0)\int_0^b dx
$$
计算得：
$$
f(0) - f'(0) \cdot b
$$
两部分相加，最终结果和方法一一致：$I = f(0) - b f'(0)$。
为什么你的最初修正步骤出现了偏差？
你在分部积分后，错误地认为$\int_a^x f'(y)\delta(y)dy = f'(0)$对所有$x \in [a,b]$成立，但实际上当$x<0$时，0不在$[a,x]$区间内，这部分积分的结果是0，而不是$f'(0)$。因此你多算了$\int_a^0 (-f'(0))dx = -a f'(0)$这一项，导致结果多出了$a f'(0)$。
补充验证：用δ'的逼近定义计算
我们用δ函数的光滑逼近$\delta_\varepsilon(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\varepsilon}e{-y2/(2\varepsilon^2)}$，则$\delta'(y) = \lim_{\varepsilon \to 0} \delta'\varepsilon(y)$。代入积分计算：
$$
I = \lim{\varepsilon \to 0} \int_a^b dx \int_a^x f(y)\delta'_\varepsilon(y)dy
$$
对内层积分分部积分，再取极限，最终得到的结果依然是$f(0) - b f'(0)$，和前面的推导一致。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Patrick.B
