角外角平分线上点到角两边顶点距离和的不等式证明求助

给定$\angle{APB}$和其外角平分线上一点$P'$（$P' \neq P$），需要证明：$AP + BP < AP' + BP'$。

我尝试过的两种思路 #

• 勾股定理方向
  一开始我想着用勾股定理来推导，分别作点$A$、$B$到这条外角平分线的正交投影$A'$、$B'$，这样$AA'$和$BB'$都垂直于平分线，$\triangle AA'P'$和$\triangle BB'P'$都是直角三角形。但走着走着就陷入了死胡同——勾股定理处理的是边长的平方关系，可我要证明的是线性的不等式，两者之间找不到合适的衔接点。

• 椭圆几何意义方向
  后来我又想到了椭圆的定义：如果把$A$、$B$作为椭圆的两个焦点，那么点$P$所在的椭圆满足$AP + BP = k$（$k$为定值），而$P'$则对应另一个以$A$、$B$为焦点的椭圆。这样的话，理论上只要证明$P'$所在椭圆的半长轴比$P$的更大就行，毕竟椭圆的核心定义就是到两焦点的距离和等于2倍半长轴。不过这个思路到这里就卡壳了，不知道该怎么继续往下推导。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Timothy Skipper