证明集合E为ℝⁿ向量子空间的技术问询

嘿，咱们来一步步梳理这个问题，先把需求明确下来：

给定某个自然数$n$，设矩阵$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$，且$y_0 \in \text{range}(A)$。需要证明集合$E = {3ty_0 : t \in \mathbb{R}}$是$\mathbb{R}^n$的子空间，要求严格按照子空间的判别准则来验证。

我自己已经清楚子空间$V$必须满足的三个判别条件：

• $0 \in V$
• 若$v,w \in V$，则$v+w \in V$
• 对任意$\lambda \in \mathbb{R}$，$\lambda \cdot v \in V$

一开始我想当然地觉得可以假定$A$对应线性变换，然后认为$0$肯定在$\text{range}(A)$里，所以$0$也属于$E$，剩下的条件也自然成立，但总感觉这个思路不太靠谱，是不是哪里出错了？

正确的证明思路（严格按子空间准则验证） #

其实不用绕到矩阵的线性变换或者$\text{range}(A)$的性质上，直接针对$E$的定义逐一验证三个准则就够了，反而更清晰：

1. 验证$0 \in E$

因为$0 = 3 \times 0 \times y_0$，这里取$t=0$（$0$是实数），完全符合$E$中元素的形式$3ty_0$，所以$0 \in E$。（这里甚至不需要用到$y_0 \in \text{range}(A)$的条件，只要$y_0$是$\mathbb{R}^n$中的向量就成立）

2. 验证加法封闭性

任取两个元素$v,w \in E$，根据$E$的定义，必然存在实数$t_1,t_2$，使得：
$v = 3t_1 y_0$，$w = 3t_2 y_0$
将两者相加：
$v + w = 3t_1 y_0 + 3t_2 y_0 = 3(t_1 + t_2)y_0$
因为$t_1 + t_2$是实数（实数加法封闭），所以$v+w$符合$E$的元素形式，因此$v+w \in E$。

3. 验证数乘封闭性

任取$v \in E$，以及任意实数$\lambda$，根据$E$的定义，存在实数$t$使得$v = 3t y_0$
计算数乘结果：
$\lambda \cdot v = \lambda \times 3t y_0 = 3(\lambda t)y_0$
因为$\lambda t$是实数（实数乘法封闭），所以$\lambda \cdot v$也符合$E$的元素形式，因此$\lambda \cdot v \in E$。

三个子空间判别准则全部满足，所以$E$确实是$\mathbb{R}^{n$的子空间。你之前的思路其实绕了弯路，而且虽然$0$确实在$\text{range}(A)$中，但这个条件对证明$E$是子空间来说是多余的——不管$y_0$是不是在$A$的值域里，只要它是$\mathbb{R}}n$中的向量，这样定义的$E$都是一维子空间。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者giuli0110