求解2023 MIT Integration Bee半决赛第1题积分∫e^cosx cos(2x+sinx)dx

嘿，我来帮你梳理这个积分问题！你提到这是2023年MIT积分赛半决赛的题目，一开始尝试换元u = e^cosx没走通，这个很正常——这个被积函数的结构确实没法通过简单换元直接凑出微分。

首先我们可以尝试用三角恒等式拆分被积函数里的余弦项，用余弦加法公式cos(A+B)=cosAcosB - sinAsinB，把cos(2x+sinx)拆成cos2x cos(sinx) - sin2x sin(sinx)，这样被积函数就变成：

∫e^cosx [cos2x cos(sinx) - sin2x sin(sinx)] dx

接着把cos2x换成二倍角形式2cos²x-1，sin2x换成2sinxcosx，展开后得到：

∫e^cosx [(2cos²x-1)cos(sinx) - 2sinxcosx sin(sinx)] dx

到这一步你会发现，不管怎么尝试凑导数（比如尝试构造e^cosx和sin(sinx)/cos(sinx)的组合求导），都没法把被积函数转化成某个初等函数的导数形式。而且你用Integral Calculator找不到解也不是工具的问题——这个积分确实没有初等原函数，也就是说没法用我们熟悉的多项式、指数、对数、三角函数等初等函数组合来表示它的原函数。

至于MIT积分赛出现这个题，有可能是题目存在笔误，或者是考察你判断积分是否存在初等原函数的能力？不过根据相关讨论，这个积分确实无法用初等函数表示，用Risch算法（一种判断积分是否有初等原函数的专业算法）可以证明这一点。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kamal Saleh