多元微积分：圆上函数的极值求解疑问咨询

别担心，我来帮你把这个问题拆解得明明白白～

首先先帮你理解题目到底在问什么：

• 方程 $x^2 + y^2 = 25$ 描述的是平面直角坐标系里以原点为圆心、半径为5的圆，也就是所有满足这个等式的点$(x,y)$构成的点集。
• 函数 $f(x, y) = 2x^2 −3y^2 + 40y −6$ 是一个二元函数，每给一个平面上的点$(x,y)$，它就能算出一个对应的数值。
• 题目里的“在圆上求最大值和最小值”，意思就是：只挑选这个圆上的所有点，把它们挨个代入$f(x,y)$计算出结果，然后从这些结果里找出最大的那个值（最大值）和最小的那个值（最小值）。

接下来给你说两种常见的解决这类问题的思路，你可以参考：

• 代入消元法：利用圆的方程把其中一个变量用另一个变量表示，把二元函数转化为一元函数求解。比如从圆的方程里可以得到 $x^2 = 25 - y^{2$，而且因为$x}2$不能为负，所以$y$的取值范围是$[-5,5]$。把$x^2$代入$f(x,y)$后，函数就变成了关于$y$的一元函数：

f(y) = 2(25 - y^2) - 3y^2 + 40y - 6
= 50 - 2y^2 - 3y^2 + 40y - 6
= -5y^2 + 40y + 44

这就变成了你熟悉的一元二次函数求区间最值问题，只需要找到函数的顶点，再对比区间端点$y=-5$和$y=5$处的函数值，就能得到最值。

• 拉格朗日乘数法：这是求解多元函数约束极值的标准方法。构造拉格朗日函数 $L = 2x^2 −3y^2 + 40y −6 + \lambda(25 - x^2 - y^2)$，其中$\lambda$是拉格朗日乘数。然后分别对$x$、$y$、$\lambda$求偏导并令其为0，解出临界点后，把这些临界点代入$f(x,y)$计算值，再比较大小得到最值。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mku