带噪声的离散线性系统李雅普诺夫判据稳定性验证问询

算力阿峰

2026-4-23

嘿，这个问题问到点子上了——实际工程里噪声几乎是绕不开的，咱们得先把「稳定性」的定义掰明白，毕竟加了噪声之后，原来的渐近稳定（状态收敛到原点）肯定没法实现了，得换个视角分析：

先回顾无噪声场景：你提到的判据 $P-(A+BK)P(A+BK)^\top>0$（$P$ 正定），本质是保证闭环系统 $x_{k+1}=(A+BK)x_k$ 的渐近稳定性——只要初始状态有限，$x_k$ 会逐步收敛到原点。
当引入有界噪声 $w_k$（假设存在常数 $W>0$，使得 $|w_k| \leq W$ 对所有 $k$ 成立）时：
这个李雅普诺夫判据依然能保证系统的有界输入有界状态（BIBS）稳定性，或者更严谨地说，是输入-状态稳定性（ISS）。简单来讲就是：只要噪声是有界的，系统状态 $x_k$ 就不会发散到无穷大，始终保持在某个有界范围内。
咱们可以简单推导验证一下：取李雅普诺夫函数 $V(x_k)=x_k^\top P x_k$，计算状态更新后的差分 $\Delta V = V(x_{k+1}) - V(x_k)$，代入带噪声的闭环系统 $x_{k+1}=(A+BK)x_k + w_k$：
$$
\Delta V = [(A+BK)x_k + w_k]^\top P [(A+BK)x_k + w_k] - x_k^\top P x_k
$$
展开后整理可得：
$$
\Delta V = -x_k^\top Q x_k + 2x_k^\top(A+BK)\top P w_k + w_k^\top P w_k
$$
这里 $Q = P-(A+BK)P(A+BK)^\top>0$（就是你给出的判据条件）。通过柯西不等式等放缩手段，能证明存在正的常数 $\alpha, \beta, \gamma$，使得：
$$
\Delta V \leq -\alpha|x_k|^2 + \beta|x_k||w_k| + \gamma|w_k|^2
$$
当 $|x_k|$ 足够大时，右边的负项会占据主导，迫使状态无法无限增大，从而维持有界。
但要明确：这个判据不能再保证渐近稳定了——因为持续的噪声输入会让状态始终存在波动，不会收敛到原点。如果想让噪声下的状态波动尽可能小，可能需要引入鲁棒控制方法（比如H∞控制）来优化，但这就是另一个范畴的问题了。