局部紧群Borel σ-代数上Haar测度的饱和性及解法验证问询

首先明确饱和测度的定义：

我们知道，饱和测度是满足以下条件的测度空间 $(X,\mathcal{M},\mu)$：$\mu:\mathcal{M}\rightarrow [0,\infty]$，且 $\mathcal{M}=\widetilde{\mathcal{M}}$，其中 $\widetilde{\mathcal{M}}={E\subseteq X;|;E\cap M\in \mathcal{M};,;\forall M\in\mathcal{M} ;\text{with};\mu(M)<\infty}$ 是所有局部可测集的集合。

核心问题 #

定义在局部紧群 $G$ 的Borel σ-代数 ${\frak{B}}_G$ 上的Haar测度是否是饱和的？

编辑补充 #

我自己摸索出了一个解法，但拿不准它的正确性！有没有大佬能帮我判断一下这个解法到底对不对？

我的解法尝试：

已知对于群 $G$ 上的Borel σ-代数 ${\frak{B}}_G$，有 ${\frak{B}}_G\subseteq\widetilde{{\frak{B}}_G}$，所以要证明Haar测度是饱和的，只需要证 $\widetilde{{\frak{B}}_G}\subseteq {\frak{B}}_G$ 即可。

任取 $E\in \widetilde{{\frak{B}}_G}$，根据局部可测集的定义，对任意满足 $\mu(M)<\infty$ 的 $M\subseteq G$，都有 $E\cap M\in {\frak{B}}_G$。

我们知道Haar测度是可分解的（可分解测度的定义见下文标注$(*)$，关于Haar测度可分解性的证明可参考相关结论），根据可分解测度定义中的(i)，存在一族 ${X_i}_{i\in I}\subseteq {\frak{B}}G$，使得每个 $X_i$ 的测度有限（$\mu(X_i)<\infty$），且 $G$ 是这些 $X_i$ 的不交并：$G=\bigcup{i\in I}X_i$。

因为每个 $\mu(X_i)<\infty$，结合局部可测集的性质，可得 $E\cap X_i\in {\frak{B}}_G$ 对所有 $i\in I$ 成立。再根据可分解测度定义中的(iii)，就能推出 $E\in {\frak{B}}_G$。

这样就证明了 $\widetilde{{\frak{B}}_G}\subseteq{\frak{B}}_G$，于是 $\widetilde{{\frak{B}}_G}={\frak{B}}_G$，也就是说Haar测度是饱和的。

$\color{red}{\bigg[}$顺带一提，我感觉这个思路是不是能推广，证明所有可分解测度都是饱和的？$\color{red}{\bigg]}$

真心求教：我的这个解法是正确的吗？

$(*)$ 可分解测度的定义

一个测度空间 $(X,\mathfrak{M},\mu)$ 被称为可分解的，当且仅当满足以下三个条件：

• (i) $X$ 是若干可测子集的不交并：$X=\bigcup_{i\in I}X_{i}$，且对所有 $i\in I$，$\mu(X_{i})<\infty$；
• (ii) 对任意有限测度的可测集 $E$，有 $\mu(E)=\sum_{i\in I}\mu(E\cap X_i)$；
• (iii) 若 $E\subseteq X$ 且对所有 $i\in I$，$E\cap X_i\in \frak{M}$，则 $E\in\frak{M}$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Amirhossein Haddadian