L¹[0,1]中的非递减函数子集是否为紧集？
这是个挺有意思的问题，咱们一步步拆解来看：首先直接给结论——这个集合 ( A ) 不是紧集，下面结合你提到的紧集判定条件和序列紧性来具体分析：
一、先解决你关心的闭性问题：( A ) 确实是闭集
你担心的“( L^1 )收敛的非递减函数列，极限是否仍是非递减函数”，答案是肯定的：
- 首先，( L^1 )收敛的序列一定存在几乎处处收敛的子列。假设 ( {f_i} \subset A ) 且 ( f_i \to f ) 在 ( L^1[0,1] ) 中，取子列 ( f_{i_k} ) 几乎处处收敛到 ( f )。
- 对任意 ( x < y \in [0,1] )，因为每个 ( f_{i_k} ) 非递减，所以 ( f_{i_k}(x) \leq f_{i_k}(y) ) 对几乎所有 ( x,y ) 成立。令 ( k \to \infty )，就能得到 ( f(x) \leq f(y) ) 几乎处处成立。
- 由于非递减函数的不连续点是可数集（零测集），我们可以在零测集上修改 ( f ) 的值，让它在整个 ( [0,1] ) 上非递减——而 ( L^1 ) 空间中几乎处处相等的函数被视为同一个元素，所以 ( f \in A )。
另外你提到的有界性确实成立：所有 ( f \in A ) 满足 ( |f|_{L^1} = \int_0^1 |f(x)|dx \leq \int_0^1 1dx = 1 )，所以 ( A ) 包含在 ( L^1[0,1] ) 的单位球内，是有界的。
二、为什么 ( A ) 不是紧集？关键是“完全有界”不成立（即你说的条件(2)不满足）
虽然 ( A ) 闭且有界，但Banach空间中紧集还需要满足完全有界（也就是你说的“能被有限维子集一致逼近到任意精度”），而 ( A ) 不满足这个条件，我们可以用反例直观说明：
构造序列 ( {f_n} \subset A )：
- 当 ( x \in [0, 1 - 1/n] ) 时，( f_n(x) = 0 )；
- 当 ( x \in (1 - 1/n, 1) ) 时，( f_n(x) = n\left(x - \left(1 - 1/n\right)\right) )（线性递增到1）；
- 当 ( x = 1 ) 时，( f_n(x) = 1 )。
这个序列里的每个函数都是非递减的，且取值在 ( [0,1] )，显然属于 ( A )。现在看任意两个不同的 ( n, m )（不妨设 ( n < m )），计算它们的 ( L^1 ) 距离：
[
|f_n - f_m|{L^1} = \int{1-1/n}^{1-1/m} 1 dx + \int_{1-1/m}^1 |1 - m(x - 1 + 1/m)| dx
]
计算后会得到这个距离至少是 ( \frac{1}{2n} - \frac{1}{2m} )，当 ( n ) 和 ( m ) 差距足够大时（比如 ( m = 2n )），这个距离会大于 ( \frac{1}{4n} )，不会趋近于0。这意味着这个序列没有柯西子列，自然在 ( L^1 ) 中没有收敛子列——而紧集的定义要求每个序列都有收敛子列（序列紧性），所以 ( A ) 不是紧集。
回到你猜测的条件(2)：如果 ( A ) 能被有限维子集逼近到任意精度，那么 ( A ) 的闭包应该是紧的，但我们已经找到没有收敛子列的序列，说明条件(2)不成立。本质上，非递减函数的“斜率变化”可以有无穷多种不同的模式，无法被有限维空间的元素全部逼近。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者user113988
