带“间隙数据”的泰勒多项式的最优逼近结论有效性问询

大家好，我最近在研究一类带“间隙”的泰勒多项式构造，遇到了一个困惑的问题，想请教一下各位：

简单来说，我们熟悉的泰勒多项式是用函数在某点的连续阶数导数（从0阶开始的所有低阶导数）来构造的最优逼近多项式。但如果我们只知道函数在点$a$处的部分离散阶数（也就是对应的导数阶数集合$F$不是“下闭”的——比如$F={0,2}$，跳过了1阶导数），那基于这些间隙数据构造出来的“类泰勒多项式”，还能不能保持原泰勒多项式的最优逼近性质呢？

严格定义与已知结论 #

首先给出严格的定义：
对于光滑函数 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$，点 $a\in\mathbb{R}$，以及自然数集的一个有限非下闭子集$F$，我们定义间隙泰勒多项式：
$$G^F_{f,a}(x)=\sum_{k\in F}{(x-a)^k\cdot f^{(k)}(a)\over k!}$$
这里约定 $0\in\mathbb{N}$ 且 $0^0=0$，保证这个定义在所有情况下都有效。

当$F$是下闭集合时（比如$F={0,1,2,...,d}$，包含从0到最高阶$d$的所有阶数），这个间隙多项式就是标准的泰勒多项式，而且我们已经知道它有两个关键的最优逼近性质：

• 性质1：如果$F$是下闭集合，$\max(F)=d$，那么对任意$d$次多项式$p$，存在$\epsilon>0$，使得对所有$x\in(a-\epsilon,a+\epsilon)$，都有
  $$\vert G_{f,a}^F(x)-f(x) \vert\le \vert p(x)-f(x)\vert.$$
• 性质2：如果$F_1$、$F_2$都是下闭集合且$F_1\subseteq F_2$，那么存在$\epsilon>0$，使得对所有$x\in(a-\epsilon,a+\epsilon)$，都有
  $$\vert G_{f,a}^{F_2}(x)-f(x) \vert\le \vert G_{f,a}^{F_1}(x)-f(x) \vert.$$
  （显然性质1可以直接推出性质2，这里只是单独列出来）

待验证的性质与核心问题 #

现在我想把这两个性质推广到非下闭的$F$集合上，提出了以下两个类似的性质：

• 性质3：如果$F$是自然数集的有限集合，$p$是仅在$k\in F$的项有非零系数的多项式（也就是多项式的非零项阶数恰好都在$F$里），那么存在$\epsilon>0$，使得对所有$x\in(a-\epsilon,a+\epsilon)$，都有
  $$\vert G_{f,a}^F(x)-f(x) \vert\le \vert p(x)-f(x)\vert.$$
• 性质4：如果$F_1\subseteq F_2$（都是自然数集的有限集合，不一定下闭），那么存在$\epsilon>0$，使得对所有$x\in(a-\epsilon,a+\epsilon)$，都有
  $$\vert G_{f,a}^{F_2}(x)-f(x) \vert\le \vert G_{f,a}^{F_1}(x)-f(x) \vert.$$

我的核心问题是：性质3和性质4哪个是成立的？

我自己的一点思考：和之前的逻辑一样，性质3显然能推出性质4，但我现在拿不准这两个性质的正确性。之前接触的泰勒余项分析都是归纳式的，碰到非下闭的集合就完全失效了；但另一方面，我尝试了很久都构造不出反例来推翻性质3，更不用说性质4了，所以想听听各位的看法和思路。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Noah Schweber