如何将对应给定特征函数的随机变量分解为独立随机变量之和？

你已经走对了关键的第一步！先给你确认一下：你把特征函数拆成两个乘积项的思路完全正确，而且对正态分布部分的识别也没毛病——那个$e^{1.5i\xi - 0.3 \xi^2}$对应的确实是$X_2 \sim \text{N}(\mu = 1.5, \sigma^2 = 0.6)$，毕竟正态分布的特征函数是$e^{i\mu\xi - \frac{1}{2}\sigma^2\xi2}$，这里$-0.3\xi^{2$刚好对应$-\frac{1}{2}*0.6\xi}2$，完美匹配。

接下来解决你卡住的部分：那个$e^{-2|\xi|{1.5}}$对应的随机变量，确实不是柯西分布（柯西的特征函数指数是1，这里是1.5），它属于**对称α-稳定分布（Symmetric α-Stable Distribution）**的范畴，具体来说是$\alpha=1.5$的情况，也常被称为3/2稳定分布。

稳定分布的特征函数（当$\alpha \neq 1$时）的对称形式是：
$$\phi(\xi) = e^{i\mu\xi - c|\xi|^\alpha}$$

对比你手里的项$e^{-2|\xi|{1.5}}$，可以直接对应出：

• 特征指数$\alpha=1.5$
• 尺度参数$c=2$
• 位置参数$\mu=0$

所以这个$X_1$就是对称3/2稳定分布，记为$\text{SαS}(\alpha=1.5, c=2, \mu=0)$，它是稳定分布家族里的一员，这类分布的核心特点是满足稳定律：独立同分布的稳定分布变量的线性组合，仍然是同类型的稳定分布，这类分布在金融、湍流等需要建模厚尾现象的领域经常用到。

回到你的原问题，最终要找的随机变量就是独立的$X_1$和$X_2$之和，其中：

• $X_1 \sim \text{SαS}(1.5, 2, 0)$（对称3/2稳定分布）
• $X_2 \sim \text{N}(1.5, 0.6)$（正态分布）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者YessuhYessuhYessuh