素数p≡7 mod 16时椭圆曲线Y²=X³+pX秩为0的初等证明问询

我最近在做Silverman-Tate的《Rational Points on Elliptic Curves》里的习题3.8b)，题目要求证明：当素数p≡7 mod 16时，椭圆曲线C: Y² = X³ + pX的秩为0。

我了解到Silverman的另一本著作《The Arithmetic of Elliptic Curves》里的Proposition 6.2已经给出了这个结论的证明，但在我看来那个证明算不上初等方法。不过Silverman-Tate这本书全程只采用初等方法，所以我坚信一定存在一个对应的初等证明。

针对这类问题，书里给出了解题提示：

• 存在一条同源曲线C₁: Y² = X³ - 4pX，双向的同源映射复合后等价于乘2映射；
• C或C₁上满足形如N² = b₁M⁴ + b₂e⁴（其中b₁b₂等于曲线的X项系数）的解，会对应到C上的有理点；
• 通过分析这些点就能计算出曲线的秩。

既然题目结论是秩为0，那理论上这类方程应该没有非零整数解，但我卡在了其中一个方程——N² = 4M⁴ - p e⁴的无解性证明上，怎么都推不出来。

我是不是漏掉了什么关键思路？毕竟这甚至都不是带星号的难题。有没有其他初等方法可以直接推导C的秩，或者能证明那个方程确实没有非零解？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jeff Margrave