关于完备标准正交序列为标准正交基的原书证明逻辑及替代证明思路的问询
内容出自书籍《Introduction to Hilbert spaces with applications》，作者Lokenath Debnath与Piotr Mikusinski
相关定义
完备标准正交序列
内积空间$E$中的标准正交序列$(x_n)$被称为完备的，若对任意$x \in E$，有：
$$x = \sum_{n=1}^\infty \langle x, x_n \rangle x_n.$$
标准正交基
内积空间$E$中的标准正交系$B$被称为标准正交基，若对任意$x \in E$，存在唯一的表示：
$$x = \sum_{n=1}^\infty \alpha_n x_n,$$
其中$\alpha_n \in \mathbb{C}$，且$x_n$是$B$中互不相同的元素。
核心定理
设$(x_n)$是Hilbert空间$H$中的标准正交序列，$(\alpha_n)$是复数列，则级数$\sum_{n=1}^\infty \alpha_n x_n$收敛当且仅当$\sum_{n=1}^\infty |\alpha_n|^2 < \infty$；且收敛时，有：
\begin{eqnarray}
\label{orthonormal_sequence_H_series_converges_iff_coefficients_in_l2_equality}\left \lVert \sum_{n=1}^\infty \alpha_n x_n \right \rVert^2 = \sum_{n=1}^\infty |\alpha_n|^2.
\end{eqnarray}
原书证明：完备标准正交序列是标准正交基
原书的证明思路聚焦于唯一性的验证：
- 已知$(x_n)$是完备标准正交序列，根据完备性定义，任意$x \in H$都可表示为$x = \sum_{n=1}^\infty \langle x, x_n \rangle x_n$，这已经满足了标准正交基定义中“存在表示”的要求，因此只需补全唯一性的证明。
- 假设$x$有两种不同的表示：
$$x = \sum_{n=1}^\infty \alpha_n x_n \ \text{且} \ x = \sum_{n=1}^\infty \beta_n x_n,$$ - 两式相减得$0 = \sum_{n=1}^\infty (\alpha_n - \beta_n) x_n$，对其取范数平方：
$$0 = |x - x|^2 = \left|\sum_{n=1}^\infty (\alpha_n - \beta_n) x_n\right|^2$$ - 这里直接应用核心定理：因为$\sum_{n=1}^\infty (\alpha_n - \beta_n) x_n$收敛到0（显然收敛），所以根据定理中的等式，范数平方等于系数模长的平方和，即：
$$\left|\sum_{n=1}^\infty (\alpha_n - \beta_n) x_n\right|^2 = \sum_{n=1}^\infty |\alpha_n - \beta_n|^2$$ - 因此$\sum_{n=1}^\infty |\alpha_n - \beta_n|^2 = 0$，而每个$|\alpha_n - \beta_n|^2$都是非负实数，故对所有$n \in \mathbb{N}$，$\alpha_n = \beta_n$，证明了表示的唯一性。
我的疑问与替代证明思路
疑问
原书证明中是如何利用“序列是完备标准正交序列”这一条件的？又是如何应用上述核心定理的？
替代证明思路
我想到的另一种证明方向：
已知$(x_n)$是完备标准正交序列，即对任意$x \in H$，有$x = \sum_{n=1}^\infty \langle x, x_n \rangle x_n$。要证明它是标准正交基，只需证明$\langle x, x_n \rangle$是$x$展开式的唯一可能系数。
- 假设$x$还有另一种表示$x = \sum_{n=1}^\infty \alpha_n x_n$，那么利用内积的线性性与连续性（Hilbert空间中内积对收敛序列连续），以及标准正交序列的性质$\langle x_k, x_n \rangle = \delta_{kn}$（克罗内克函数，当$k=n$时为1，否则为0），可得：
$$\langle x, x_n \rangle = \langle \sum_{k=1}^\infty \alpha_k x_k, x_n\rangle = \sum_{k=1}^\infty \alpha_k\langle x_k, x_n\rangle = \alpha_n$$
这个思路是否可行？
备注：内容来源于stack exchange，提问作者user294401
