关于Gathmann代数几何讲义例1.11的潜在笔误疑问：为何该理想的生成元需为非常量多项式？

你观察得太到位了！这个细节确实是讲义里表述的一处小疏漏——严格来说，这里的$f$必须是非常量多项式，我来给你理清楚背后的逻辑：

首先，回到主理想整环$K[x]$的理想性质：

• 如果$f$是非零常数多项式，那么$\langle f \rangle$其实就是整个环$K[x]$（因为域$K$里的常数都是可逆元，任何多项式都能被$f$线性表出）。但这种情况下，常数多项式根本没有根，自然没法分解成$(x_1-a_1)^{{k_1}\cdots(x_1-a_r)}{k_r}$这种带根的形式。

再看这个例子的上下文：它显然是在讨论仿射空间$\mathbb{A}^1$中的代数集与理想的对应关系。当$\langle f \rangle$是非常量多项式生成的理想时，它对应的代数集就是$f$的所有根${a_1,\dots,a_r}$，每个$k_i$对应根的重数；但如果$f$是常数，理想就是整个环，对应的代数集是空集，这和例子里“distinct points $a_1,\cdots,a_r\in \mathbb{A}^1$”的讨论语境完全不匹配。

所以作者这里其实是默认了$J$是真理想（也就是$J \neq K[x]$），而在$K[x]$中，非零的真主理想恰好就是由非常量多项式生成的。这应该是作者觉得这个前提太基础，没特意写出来，但确实容易让刚接触代数几何的同学产生困惑。

总而言之，你的判断完全正确——讲义里的表述确实遗漏了“$f$为非常量”这个关键条件，结合例子的讨论场景，这里的$f$必然是非常量多项式，才能有那样的因式分解。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Coco