向量函数属于Sobolev空间时其散度的正则性探究

最近碰到这么个问题：如果向量函数 $u:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ 属于Sobolev空间 $W^{{n,p}(\mathbb{R}}3)$，那它的散度 $\nabla \cdot u$ 正则性到底怎么样呢？

从Sobolev空间的定义出发，我觉得有个结论是顺理成章的：

若 $u \in W^{{n,p}(\mathbb{R}}3)$ 且 $n>k$，则 $\nabla^k u \in W^{{n-k,p}(\mathbb{R}}3)$

但我现在纠结的点在于——能不能直接推出下面这个结论？
$$
u \in W^{{n,p}(\mathbb{R}}3) \implies \nabla \cdot u \in W^{{n,p}(\mathbb{R}}3)
$$

这里得先明确，$u$ 是向量值函数，所以 $\nabla u$ 其实就是它的雅可比矩阵。既然 $u$ 属于某个Sobolev空间，那它的雅可比矩阵必然在对应的范数下是有界的。

我先分析了几个特殊的$p$值情况：

• 当 $p=1$ 或者 $p=\infty$ 时，算子/矩阵范数可以简化成元素绝对值的和形式。比如$p=1$时，范数定义是：
  $$
  |\nabla u | = \max_j \sum_i \left|\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right|
  $$
  从这个式子就能很直观地看出来，散度作为雅可比矩阵的迹，肯定也是有界的；$p=\infty$的情况也是类似的逻辑。
• 当 $p=2$ 时，$p$-范数可以被Frobenius范数控制，同样能得到散度有界的结论。

那问题来了——对于一般的$p$值，这个结论还成立吗？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者BrokenLamp