关于Profinite群膨胀限制序列及Brauer群特殊情形的证明问询

最近我在学习profinite群上同调，用来做类域论相关的研究。现在我想找不依赖Hochschild-Serre谱序列的profinite版本膨胀限制序列的证明，最好能直接用到普通群上同调里的对应结论——尤其是有限Galois扩张$L/K$对应的Brauer群短正合列：
$$0\to Br(L/K)\to Br(K)\to Br(L)\to 0$$

我之前在Cassels-Frohlich一书的第126页看到过一个用普通群上同调的膨胀限制序列推导的证明，但后来发现这个证明存在错误。

我自己琢磨了两个思路：

• 普通群上同调和profinite群上同调都是用导出函子定义的（前者针对一般模，后者针对离散模），所以我猜想普通版本的膨胀限制序列应该能自然推广到profinite情形。为此我想找一个更抽象的、针对一般导出函子的膨胀限制序列版本，但目前还没找到相关的推广结论。
• 另一个办法是从头构建profinite群上同调的整套理论，但这工作量实在太大了，有点望而却步。

补充疑问 #

是不是不用谱序列来证明一般情形的profinite膨胀限制序列确实很难，但我们其实不需要一般情形，只要证明Brauer群对应的那个特殊短正合列就行？

我自己试着想了个证明思路，想请教下是否正确：
Brauer群可以看作有限子扩张的Brauer群的正向极限，其中膨胀映射就是正向极限的转移映射。根据Hilbert 90和普通群上同调的膨胀限制序列，这个正向极限的结构可以由有限子列的正合列诱导。因为目标短正合列中的映射都是由分量wise的膨胀和限制诱导的，所以序列中的核和像都是有限子扩张对应膨胀限制序列的核和像的正向极限，这样正合性就能自然推广到profinite情形的这个短正合列：
$$0\to Br(L/K)\to Br(K)\to Br(L)\to 0$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ja_1941