第一类贝塞尔函数零点交替性证明的后续推导及唯一性证明求助

各位好，我现在在尝试证明第一类贝塞尔函数的零点具有交替性——具体来说就是要证：对于任意实数$\nu$，$J_\nu(x)$的每两个相邻正零点之间，都存在$J_{\nu+1}(x)$的一个零点。目前我已经完成了部分推导，但卡在了后续步骤，同时也不知道怎么证明零点的唯一性，想请教大家的思路。

已完成的推导步骤 #

• 先定义符号：设$\pi_{\nu,k}$表示$J_\nu(x)$的第$k$个正零点，即$J_\nu(\pi_{\nu,k}) = J_\nu(\pi_{\nu,k+1}) = 0$。
• 由于第一类贝塞尔函数在全体实数域上连续且可导，对$J_\nu(x)$在区间$(\pi_{\nu,k}, \pi_{\nu,k+1})$应用罗尔定理，可得：存在$\eta \in (\pi_{\nu,k}, \pi_{\nu,k+1})$，使得$J_\nu'(\eta) = 0$。
• 接着我用到了贝塞尔函数的递推关系：
  $$(x^{-\nu} J_\nu(x))' = -x^{-\nu}J_{\nu+1}(x)$$
• 将左边展开后得到：
  $$-\nu x^{-\nu-1} J_\nu(x) + x^{-\nu} J_\nu'(x) = -x^{-\nu}J_{\nu+1}(x)$$

卡住的地方 #

当$x = \eta$时，因为$J_\nu'(\eta) = 0$，左边的第二项直接消失了。我原本想把左边第一项展开，让它同时包含$J_\nu'(x)$和$J_{\nu+1}(x)$，这样就能整理出$J_{\nu+1}(\eta)=0$的结论，但试了好几个贝塞尔递推关系都没推进下去，这一步完全卡壳了。

另外还有个关键问题：罗尔定理只说明区间内至少存在一个这样的$\eta$使得$J_\nu'(\eta)=0$，但我还需要证明这个$\eta$是$(\pi_{\nu,k}, \pi_{\nu,k+1})$内$J_{\nu+1}(x)$的唯一零点，这部分我完全没头绪，不知道该从哪里入手。

有没有前辈能指点一下后续的推导方向，或者给点关于唯一性证明的思路呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tanamas