关于Maschke定理的一个未用到有限群条件的存疑“证明”的问题

我自己构思了一个Maschke定理的“证明”，看着逻辑好像能通，但整个过程完全没用到群是有限的这个关键条件——这肯定哪里有问题！有没有大佬能帮我找找这个“证明”的漏洞？

先说明前提：我们假设基域特征为0，所有涉及的向量空间都是有限维的，定理采用Fulton&Harris《Representation Theory - A First Course》里的命题1.5版本：

Maschke定理：若$W$是有限群$G$的表示$V$的子表示，则存在$V$的$G$-不变补空间$W'$，使得$V=W\oplus W'$。

我的“证明”过程如下：

• 首先，每个$g\in G$的作用都是可逆的，所以如果子空间$V'\subset V$是$g$-不变的，那么$g.V'=V'$（维数不会改变），因此$V'$也是$g^{{-1}$-不变的，且$g}{-1}.V'=V'$。
• 先假设$W\subset V$是任意子空间（不一定是$G$-不变的），令$\pi: V\to W$是对应的线性投影，它给出直和分解$V=W\oplus \text{Ker}(\pi)$。
• 定义$p_{g,\pi}:=g^{-1}\pi g$，容易验证$p_{g,\pi}^2=g{-1}\pi gg^{-1}\pi g=p_{g,\pi}$，所以它也是线性投影，诱导直和分解$V= \text{ran}(p_{g,\pi})\oplus \text{Ker}(p_{g,\pi})$。进一步有$g. \text{ran}(p_{g,\pi})\subset W$：对任意$x\in \text{ran}(p_{g,\pi})$，$x=p_{g,\pi}(x)=g^{-1}\pi gx$，所以$gx=\pi gx\in W$。
• 当$W$是$g$-不变的时，根据第一步的结论，$W$也是$g^{-1}$-不变的。因为$\pi|W$是恒等映射，所以对任意$w\in W$，$p{g,\pi}(w)=g^{-1}\pi gw=g^{-1}gw=w$，因此$W\subset \text{ran}(p_{g,\pi})$。
• 结合第三步的结论，$g. \text{ran}(p_{g,\pi})\subset W\subset \text{ran}(p_{g,\pi})$，又因为$g$可逆，所以$ W= \text{ran}(p_{g,\pi})$。这就得出$\text{Ker}(p_{g,\pi})=\text{Ker}(\pi)$，且$p_{g,\pi}=\pi$——也就是说两个直和分解是完全相同的。
• 接下来可以验证$g$和$g^{-1}$都保持这个核不变：对任意$y\in \text{Ker}(p_{g,\pi})=\text{Ker}(\pi)$，$p_{g,\pi}(g^{-1}y)=g{-1}\pi gg^{-1}y=g{-1}\pi y=0$，所以$g^{-1}y\in \text{Ker}(p_{g,\pi})=\text{Ker}(\pi)$。由$g^{{-1}$可逆，这个核是$g$-不变和$g}{-1}$-不变的。
• 最后，如果$W$是$G$-不变的，那么每个$g\in G$都诱导出相同的投影$p_{g,\pi}=\pi$，子空间$W':=\text{Ker}(\pi)$就是$G$-不变的补空间，满足$V=W\oplus W'$。$\square$

你看，整个“证明”里完全没用到$G$是有限群这个条件，这可把我吓一大跳……

更新 #

根据Eric的回答，问题出在这里：当我们得出$W= \text{ran}(p_{g,\pi})$时，不能直接推出两个投影相同，因为它们的核可能完全不一样！不过我们确实能得到直和分解$V=W\oplus \text{Ker}(p_{g,\pi})$，而且对每个$g\in G$都成立，但对应的核会随着$g$遍历$G$而变化。这正是Maschke定理里“平均技巧”发挥作用的地方，也是群的有限性起到关键作用的核心点。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user760