关于群同态、单调映射分别作为群范畴、偏序集范畴间函子的验证问询

嘿，最近在啃范畴论课本，试着验证了两个结论，分享出来和大家聊聊～

一、群同态等价于群范畴之间的函子 #

我要验证的第一个结论是：群$G$与$H$之间的函子，就是$G$到$H$的群同态。

按照函子的标准定义（拆分为对象映射$F_0$和态射映射$F_1$），分三点验证：

• 定义域与codomain匹配：$F_1f: F_0A \to F_0B$显然成立。因为把群看作范畴时，每个群只有一个对象（比如$G$对应的范畴对象就是$G$本身，$H$对应的是$H$本身），所以$F_0(G)=H$。而群里的所有态射（也就是群元素）的定义域和codomain都是这个唯一对象，因此$F_1f: H \to H$完全符合要求。
• 保持复合运算：$F_1(f \circ g) = F_1f \circ F_1g$。这其实就是群同态的核心性质——保持群运算，所以这个等式是天然成立的。
• 保持恒等态射：$F(\mathsf{1}G) = \mathsf{1}{F_0G}$。展开来看，群范畴里的恒等态射$\mathsf{1}_G$就是群$G$的单位元$e_G$，群同态会把单位元映射到单位元，即$F_1(\mathsf{1}_G)=F(e_G)=e_H$；同时$F_0G=H$，而$H$作为范畴对象的恒等态射就是$e_H$，所以$F_1(\mathsf{1}_G)=e_H=\mathsf{1}H=\mathsf{1}{F_0G}$，等式成立。

二、单调映射等价于偏序集范畴之间的函子 #

第二个要验证的结论是：偏序集$P$与$Q$之间的函子，就是$P$到$Q$的单调函数。

单调函数的定义是：若$x \leq y$，则$f(x) \leq f(y)$。把偏序集看作范畴的话，对象是偏序集里的元素，$x \leq y$就对应从$x$到$y$的唯一态射，接下来对应函子定义验证：

• 态射的定义域与codomain匹配：$F_1(A \to B) = F_0A \to F_0B$。因为偏序集范畴中两个对象间的态射是唯一的，只要存在$A \to B$（即$A \leq B$），单调映射就保证$F_0A \leq F_0B$，也就是存在态射$F_0A \to F_0B$，正好对应$F_1$把原态射映射到这个新态射，满足$F_1f: F_0A \to F_0B$的要求。
• 保持复合运算：偏序集里的态射复合对应关系的传递性——如果有$f: x \leq y$和$g: y \leq z$，它们的复合$f \circ g$就是$x \leq z$。那么$F_1(f \circ g)$就是$F_1(x \leq z)$，也就是$F_0x \leq F_0z$；而$F_1f \circ F_1g$是$F_1(x \leq y)$与$F_1(y \leq z)$的复合，即$F_0x \leq F_0y$且$F_0y \leq F_0z$，根据偏序的传递性，这等价于$F_0x \leq F_0z$，和$F_1(f \circ g)$完全相等，复合保持的条件满足。
• 保持恒等态射：每个元素$x$的恒等态射就是$x \leq x$，单调映射自然保持$F_0x \leq F_0x$，也就是$F_1(\mathsf{1}x)=\mathsf{1}{F_0x}$，这个条件也成立。

一点小感想 #

我觉得这个练习真正的挑战，是把大家熟悉的“群同态”“单调映射”的概念，翻译到函子这种拆分了$F_0$和$F_1$的结构上——毕竟函子的定义看起来更抽象，需要把日常熟悉的代数/序结构概念，对应到范畴论的语言体系里，这个转换过程才是最需要花功夫琢磨的。

符号补充说明 #

有朋友指出我用的符号不太标准，这里明确下我参考的函子定义：对于范畴$\mathcal{C}$，$\mathcal{C}_0$表示它的对象类，$\mathcal{C}_1$表示它的态射类。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者God bless