关于序列$ rac{a_n(y_n)}{e^{y_n}}$的极限证明问询
嘿，咱们来一步步拆解这个问题哈～先明确下已知条件：
- $a_n(x)$是指数函数$e^x$的n阶泰勒多项式，具体形式是 $a_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}$
- 序列$(y_n)$是正的、严格单调递增，且极限是$+\infty$的序列
接下来分两个问题解答：
一、能不能证明$\lim_{n \to +\infty } \frac{ a_n(y_n) }{e^{y_n}} = 1$？
答案是不行，咱们可以构造反例来说明这一点。
比如取$y_n = n^2$，这个序列显然满足正、严格递增且趋向$+\infty$。这时候我们可以用指数函数泰勒展开的积分余项来分析：
$e^x - a_n(x) = \int_0^x \frac{(x-t)^n}{n!} e^t dt$，两边除以$e^x$可得：
$$\frac{e^x - a_n(x)}{e^x} = \int_0^x \frac{s^n}{n!} e^{-s} ds$$
（这里做了变量替换$s = x - t$）
这个积分其实是不完全伽马函数与伽马函数的比值，对应服从Gamma(n+1, 1)分布的随机变量的累积分布函数。Gamma(n+1,1)分布的均值是$n+1$，当$x = y_n = n2$时，$x$远大于分布的均值（毕竟$n2$比$n$增长快得多），所以这个累积分布函数会趋近于1，也就是说：
$$\lim_{n \to \infty} \frac{e^{y_n} - a_n(y_n)}{e^{y_n}} = 1$$
反过来就得到：
$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n(y_n)}{e^{y_n}} = 0$$
这显然不等于1，所以原命题无法成立。
二、能不能证明$\lim_{n \to +\infty } \frac{ a_n(y_n) }{e^{y_n}} > 0$？
答案也是不行，刚才的反例已经能说明问题了——当$y_n = n^2$时，这个极限直接等于0，自然不满足“大于0”的结论。
不过补充一句：如果$(y_n)$的增长速度不超过$n$的某个常数倍（比如$y_n = cn$，$c$是固定正数），那情况会不一样：
- 当$c < \frac{1}{e}$时，极限会等于1；
- 当$c > \frac{1}{e}$时，极限会等于0；
- 当$c = \frac{1}{e}$时，极限会是一个介于0和1之间的常数。
但题目里只要求$(y_n)$趋向$+\infty$，没限制增长速度，所以存在增长过快的序列让极限落到0。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者InfiniteMath
