双线性与二次型主题：求解存在0-1方阵使其平方为全1矩阵的n值

嘿，我来聊聊我对这个问题的思考过程和结论～

问题是这样的：对于哪些正整数$n$，存在一个$n$阶的0-1方阵，使得它的平方是一个全1矩阵（我们把这个全1矩阵记为$J_n$，也就是所有元素都为1的$n$阶方阵）。

我尝试推导后，得出的结论是只有$n=1$时存在这样的矩阵。下面是我的探索过程：

• 首先明确$J_n$的定义：它是所有元素都为1的$n$阶方阵。我一开始想通过寻找新的基，把对应$J_n$的二次型对角化，但发现根本找不到$n$个线性无关的向量来构成这个基——这让我直接怀疑，可能只有$n=1$的情况能满足条件（毕竟$n=1$时，取矩阵$[1]$，它的平方就是$[1]$，完美符合要求）。
• 我还试过另一种思路：把矩阵的每个元素当作未知数，列一个包含$n^2$个方程的线性方程组来求解，但折腾了半天还是陷入了瓶颈，没找到$n>1$时的可行解。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者replikeit