关于ℝ²上线性变换T、R、S线性无关性的验证疑问

嘿，我来帮你理清这个问题的关键所在！

首先得明确：线性空间$\mathscr{L}(\mathbb{R}^2)$里的线性变换$T,R,S$线性无关的定义是：如果存在标量$\alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{R}$，使得对每一个**$(x,y) \in \mathbb{R}^2$，都有$\alpha T(x,y) + \beta R(x,y) + \gamma S(x,y) = (0,0)$，那么必须$\alpha=\beta=\gamma=0$**。你可能误解了这个定义的核心——不是只对某个向量成立，而是要对所有向量都成立才行。

我们一步步来推导验证：

1. 先写出线性组合作用在任意$(x,y)$上的结果：

   • $\alpha T(x,y) = (\alpha x, 2\alpha y)$
   • $\beta R(x,y) = (\beta x, \beta(x+y))$
   • $\gamma S(x,y) = (0, \gamma x)$
     把它们加起来，得到：
     $$(\alpha x + \beta x,\ 2\alpha y + \beta(x+y) + \gamma x) = (0,0)$$

2. 这个等式要对所有$(x,y)$都成立，意味着每个分量的系数必须全为0：

   • 第一个分量：$(\alpha + \beta)x = 0$ 对任意$x$成立 → $\alpha + \beta = 0$ （方程1）
   • 第二个分量：$(\beta + \gamma)x + (2\alpha + \beta)y = 0$ 对任意$x,y$成立，所以x和y的系数都得是0：
     • x的系数：$\beta + \gamma = 0$ （方程2）
     • y的系数：$2\alpha + \beta = 0$ （方程3）

3. 联立这三个方程求解：
   从方程1得$\beta = -\alpha$，代入方程3：$2\alpha - \alpha = 0$ → $\alpha=0$，进而$\beta=0$，再代入方程2得$\gamma=0$。

这说明只有$\alpha=\beta=\gamma=0$时，线性组合才是零变换，所以$T,R,S$确实是线性无关的。

那你之前的问题出在哪呢？可能是只代入了$(1,0)$这一个向量，得到了$\alpha+\beta=0$和$\beta+\gamma=0$，这时候看起来有非零解（比如$\alpha=1,\beta=-1,\gamma=1$），但这个组合作用在其他向量上（比如$(0,1)$）时：
$$1*T(0,1) + (-1)R(0,1) + 1S(0,1) = (0,2) + (0,-1) + (0,0) = (0,1)≠(0,0)$$
显然不满足“对所有向量都映射到零”的要求，所以这个组合并不是零变换，也就不能说明线性相关。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者piero