关于经典测地线方程右侧取值为零而非1的技术问询

我最近一直在琢磨经典测地线方程的形式，经典版本是这样的：
$$\frac{d u^{\alpha }}{d \tau }+u^{\mu } u^{\nu } \Gamma_{\mu \nu }^{\alpha }=0$$

我当时想能不能把它改成：
$$\frac{d u^{\alpha }}{d \tau }+u^{\mu } u^{\nu } \Gamma_{\mu \nu }^{\alpha }=a_3^{\alpha }$$

这里的$\boldsymbol{a_3}$是流形上普遍存在的加速度张量场，它可以是零，也可以是其他值，完全取决于流形的类型。之后有人在评论里指出，我其实可以把加速度项$\boldsymbol{a_3}$移到左边，和克里斯托费尔符号合并，这样就能和经典方程一致了——这点我认同，但这也让我反过来思考：那我为什么不能用同样的逻辑，把方程写成：
$$\frac{d u^{\alpha }}{d \tau }+u^{\mu } u^{\nu } \Gamma_{\mu \nu }^{\alpha }=1$$
毕竟我总能把这个常数1“藏”进克里斯托费尔符号里啊。那经典测地线方程里的零到底特殊在哪里呢？（除了它能让我们用熟悉的闵可夫斯基空间来理解流形之外）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Don Airey