在赋范空间ℝⁿ中证明||x||ᵣ ≤ ||x||ₛ的方法咨询（1≤s≤r≤∞）

嘿，我来帮你理清这个p-范数不等式的证明思路～其实不用死磕Holder不等式的单一用法，咱们分两种情况来拆解会更清晰：

情况1：当r=∞时 #

首先回忆无穷范数的定义：||x||_∞ = max{|x₁|, |x₂|, ..., |xₙ|}，也就是向量各分量绝对值的最大值。

对于任意s∈[1, ∞)，s-范数是||x||_s = (Σ|xᵢ|^s)^(1/s)。咱们看每个分量|xᵢ|，显然有|xᵢ| ≤ (Σ|xⱼ|^s)^(1/s)——因为求和式里包含了|xᵢ|^s，所以整个求和结果肯定大于等于|xᵢ|^s，两边同时开s次方就得到这个不等式。

既然所有分量的绝对值都不超过||x||_s，那它们的最大值||x||_∞自然也满足||x||_∞ ≤ ||x||_s，这就搞定了r=∞的情况。

情况2：当1≤s≤r<∞时 #

这里可以用标准化技巧来简化问题：因为范数具有齐次性（||kx||_p = |k|·||x||_p），咱们不妨先假设||x||_s = 1（如果||x||_s≠0，就令y = x/||x||_s，此时||y||_s=1，只要证明||y||_r ≤1，再还原回去就行；如果||x||_s=0，那x是零向量，不等式显然成立）。

已知||y||_s=1，也就是Σ|yᵢ|^s = 1。因为s≤r，所以每个|yᵢ|^s ≤1，进而|yᵢ| ≤1（毕竟s≥1，幂函数在[0,1]区间是递增的）。那|yᵢ|^r = |yᵢ|^s · |yᵢ|^(r-s) ≤ |yᵢ|^s · 1^(r-s) = |yᵢ|^s。

把所有分量加起来：Σ|yᵢ|^r ≤ Σ|yᵢ|^s =1，两边同时开r次方，就得到||y||_r ≤1，也就是||x||_r / ||x||_s ≤1，整理后就是||x||_r ≤ ||x||_s。

如果一定要用Holder不等式的话，其实也能行：
我们把Σ|xᵢ|^r拆成Σ|xᵢ|^s · |xᵢ|^(r-s)，令p = r/s，q = r/(r-s)，可以验证1/p + 1/q =1，满足Holder不等式的条件。
套入Holder不等式：

Σ|aᵢbᵢ| ≤ (Σ|aᵢ|^p)^(1/p) · (Σ|bᵢ|^q)^(1/q)
这里aᵢ=|xᵢ|^s，bᵢ=|xᵢ|^(r-s)，代入后右边化简就是||x||_r^s · ||x||_s^(r-s)，左边是||x||_r^r。
整理后得到||x||_r^r ≤ ||x||_r^s · ||x||_s^(r-s)，两边除以||x||_r^s（非零情况），再开(r-s)次方，就能得到目标不等式。

这样两种情况都覆盖到了，应该就能解决你的困惑啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Itachi