关于任意集合A、B满足A \ (B \ A) = A的证明问询

嘿，你的思路已经走对了一大步啦！咱们接着往下梳理就很清晰了～

你已经推导到：如果 $x \in A \setminus (B \setminus A)$，那么等价于 $x \in A$ 且 $(x \notin B \text{ 或 } x \in A)$。这一步完全没问题，接下来我们可以用逻辑里的吸收律来简化这个条件：

当我们有命题 $P \land (Q \lor P)$ 时，它等价于 $P$。这里 $P$ 就是 $x \in A$，$Q$ 是 $x \notin B$，所以这个复合条件直接简化为 $x \in A$。这就证明了 $A \setminus (B \setminus A) \subseteq A$。

接下来我们还需要证明反向的包含关系 $A \subseteq A \setminus (B \setminus A)$，这样才能说明两边相等：

• 假设 $x \in A$，我们需要验证 $x \notin (B \setminus A)$。
• 而 $B \setminus A$ 的定义是“属于B但不属于A的元素”，既然 $x \in A$，那它必然不满足“不属于A”这个条件，所以 $x \notin (B \setminus A)$。
• 因此 $x \in A$ 且 $x \notin (B \setminus A)$，也就是 $x \in A \setminus (B \setminus A)$。

结合正向和反向的包含关系，我们就可以得出结论：$A \setminus (B \setminus A) = A$ 对任意集合A、B都成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者KLG