群模中心为完全群时的结构判定问询

嘿，这个问题挺有深度的！答案是否定的——存在满足题设短正合列条件的群G，它无法分解为一个完全群和一个阿贝尔群的直积。

给你举个经典的反例：特殊线性群$\text{SL}(2,5)$。它的中心$Z(\text{SL}(2,5))$是2阶循环群$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，商群$\text{SL}(2,5)/Z(\text{SL}(2,5))$同构于交错群$A_5$，而$A_5$是典型的完全群（非交换单群，其换位子群等于自身），完全符合题设的短正合列$1 \to Z(G) \to G \to P \to 1$（这里$P=A_5$）。

现在我们来证明$\text{SL}(2,5)$不能分解为完全群与阿贝尔群的直积：假设$\text{SL}(2,5) = K \times A$，其中$K$是完全群，$A$是阿贝尔群。那么：

• 因为$A$是阿贝尔群，它必然包含在$G$的中心$Z(G)$里（直积的阿贝尔因子的元素和所有元素可交换）；
• $K$是完全群，所以它的换位子群$[K,K]=K$，而$G$的换位子群$[G,G]=[K \times A, K \times A]=[K,K]=K$，但$\text{SL}(2,5)$本身就是完全群（它的换位子群等于自身），所以$K=G$，那$A$只能是平凡群？这显然矛盾，因为$Z(G)$是非平凡的。换个角度，如果$A$是非平凡的，那$A=Z(G)=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，此时$K$应该同构于$G/A \cong A_5$，但$A_5 \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$和$\text{SL}(2,5)$并不同构——$\text{SL}(2,5)$里的2阶元只有中心的那个，而$A_5 \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$里除了中心的2阶元，还有$A_5$里的2阶元（比如(1 2)(3 4)这类），两者的共轭类数量、元素阶的分布都不一样，所以不可能同构。

这就说明$\text{SL}(2,5)$满足题设条件，但不能分解为完全群和阿贝尔群的直积，因此你的问题的答案是否定的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ian Gershon Teixeira