关于斯皮瓦克《流形上的微积分》定理3-11的两处证明疑问

嘿，我刚好对Spivak这本书里的这段证明有点印象，来帮你理理这两个问题：

第一个问题：为什么Case 2中的和是有限的？ #

首先得结合这段证明里的集合构造逻辑：你已经注意到如果$x\in A_i$，那么$x\notin B_j$对所有$j\ge i+2$成立，咱们顺着这个点往下推：

对于任意一个点$x$，它必然属于某个$A_i$（毕竟随着$i$增大，$A_i$是逐步“逼近”$A$内部的序列）。一旦$x$落在某个$A_i$里，那所有下标$j\ge i+2$的$B_j$都不可能包含$x$——也就是说，能包含$x$的$B_j$最多只有$B_1, B_2, ..., B_{i+1}$这有限个。

当我们对$j$求和时，只有这有限个$B_j$对应的项是非零的（其他项因为$x$不在$B_j$里，贡献为0），所以整个求和结果自然是有限的。

第二个问题：为什么${x\in A : d(x,\partial A) \ge 1/i}$是闭集？ #

先帮你纠正个小细节：Spivak里定义点到集合的距离是下确界，不是上确界，也就是$d(x,S):= \inf{d(x,s):s\in S}$——你记反啦，这个定义才符合咱们对“距离”的直观认知（比如点在集合里时距离为0）。

回到这个集合，咱们记$C_i = {x\in A : d(x,\partial A) \ge 1/i}$，要证明它是闭集，最直接的方法是证明它的补集是开集：

$C_i$的补集是${x\in A : d(x,\partial A) < 1/i}$。任取这个补集里的一点$x_0$，设$d(x_0,\partial A)=r < 1/i$，取$\varepsilon = \frac{1/i - r}{2} > 0$。

根据距离函数的三角不等式，对于所有$x\in B(x_0, \varepsilon)$（这里是$A$中的开球），有：
$$d(x,\partial A) \le d(x,x_0) + d(x_0,\partial A) < \varepsilon + r = \frac{1/i - r}{2} + r = \frac{1/i + r}{2}$$
因为$r < 1/i$，所以$\frac{1/i + r}{2} < \frac{1/i + 1/i}{2} = 1/i$，也就是说$x$也在补集里。

这就说明补集里的每个点都有一个完全包含在补集里的邻域，所以补集是开集，那么$C_i$就是闭集啦。另外，因为$A$是紧集（这段证明的前提应该是$A$紧），紧空间里的闭子集也是紧的，这就能推出每个$A_i$是紧集了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sam