关于不动点算法仅收敛至单个不动点的原因问询

嘿，这个问题问得特别到位！其实核心原因和不动点迭代的局部收敛特性以及不动点本身的吸引/排斥属性直接相关，咱们就拿$f(x)=x^2$这个例子一步步拆解清楚：

• 先回顾下不动点迭代的核心逻辑：我们是通过递推公式 xₙ₊₁ = f(xₙ) 来逐步逼近不动点的。一个不动点能不能被算法收敛到，关键看当迭代点落在它附近时，下一步的结果会不会朝着这个点靠拢。
• 咱们来分析两个不动点的"性格"：
  • 针对不动点$(0,0)$：先求$f(x)$的导数$f'(x)=2x$，代入$x=0$得到$f'(0)=0$，它的绝对值小于1。这意味着在0的附近区域，每次迭代后的点都会被"拉向"0——比如你取初始值0.1，第一次迭代得到0.01，第二次就是0.0001，明显越来越靠近0，所以0是吸引型不动点，算法很容易收敛到它。
  • 针对不动点$(1,1)$：代入导数得到$f'(1)=2$，绝对值大于1。这时候哪怕你的初始值离1非常近，比如取1.1，迭代后会得到1.21，再下一步是1.4641，只会越来越远；就算取0.9，迭代后是0.81，接着是0.6561，反而朝着0的方向跑了。所以1是排斥型不动点，算法根本没法收敛到它，除非你把初始值精准地设为1（但现实中几乎不可能做到）。
• 总结一下：不动点迭代的局部收敛条件是，在不动点$x^{*$的邻域内满足$|f'(x}*)| < 1$，只有符合这个条件的不动点才会成为算法收敛的目标，不满足的只会把迭代点"推开"。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Clay Lang