简单同伦引理相关证明问询：证明闭圆盘上特定映射的连通分支像包含原点

嘿，这个问题用反证法+同伦不变量就能轻松搞定，逻辑链很清晰，我一步步给你拆解：

• 先明确前提与反证假设
  先把已知条件再理一遍：$F:[0,1]×[0,1]→\bar{\mathbb{D}}$是单位正方形到闭单位圆盘的连续映射，下边界$(t,0)$被映射为单位圆周的参数化$e^{{2iπt}$，左、右、上三个边界则都被映射到点$\mathbf1=(1,0)$。U是$(0,1)×{0}$在$F}{-1}(\bar{\mathbb{D}}−{\mathbf1})$中的连通分支——简单说，U是包含下边界内部的最大连通集，且U内所有点的像都不等于$\mathbf1$。

  我们先假设要证的结论不成立：$\mathbf0 \notin F(U)$，也就是U内所有点的像都避开原点$\mathbf0$。

• 构造矛盾的核心：利用可缩空间的同伦性质
  既然$\mathbf0 \notin F(U)$且$\mathbf1 \notin F(U)$，那么F在U上的像完全落在$\bar{\mathbb{D}} \setminus {\mathbf0, \mathbf1}$中。这个空间可以形变收缩到$\mathbb{S}^1 \setminus {\mathbf1}$（比如把每个点沿径向收缩到单位圆周上，因为所有点都不是0，所以收缩过程是连续的），而$\mathbb{S}^1 \setminus {\mathbf1}$同胚于实数线，是可缩空间（能连续收缩到单个点）。

  接下来我们构造一个从正方形到单位圆周$\mathbb{S}^1$的连续映射G：

  • 对于$(x,y) \in U$，令$G(x,y) = \frac{F(x,y)}{|F(x,y)|}$（因为F(x,y)≠0，这个定义合法，且结果落在$\mathbb{S}^1 \setminus {\mathbf1}$中）；
  • 对于$(x,y) \notin U$，F(x,y)=$\mathbf1$，所以令$G(x,y)=\mathbf1$。

  这个G是连续的：U是$F^{{-1}(\bar{\mathbb{D}}−{\mathbf1})$的连通分支，而$F}{-1}(\bar{\mathbb{D}}−{\mathbf1})$是正方形中的开集（因为F连续，${\mathbf1}$是闭集，原像的补集是闭集），所以U是开集，其补集是闭集。G在U上连续，在补集上是常值1，且当U内的点趋近于补集时，F(x,y)趋近于$\mathbf1$，因此G(x,y)也趋近于1，整体连续。

• 矛盾点：可缩空间的映射必零伦，但边界映射度数不为0
  正方形是可缩空间（能连续收缩到单个点），所以G作为从可缩空间到$\mathbb{S}^1$的映射，一定是零伦的——也就是存在连续同伦，能把G逐渐变形为一个常值映射。

  但我们看G在正方形边界上的行为：

  • 下边界$(t,0)$：$G(t,0)=e^{2iπt}$，这是绕单位圆周完整一圈的映射，度数为1；
  • 左、右、上边界：$G(x,y)=\mathbf1$，是常值映射，度数为0。

  整个正方形边界同胚于$\mathbb{S}^1$，G在边界上的映射是一个度数为1的圆周映射。但零伦映射诱导的边界映射也必须是零伦的，而度数为1的圆周映射不可能零伦（度数是同伦不变量，零伦映射的度数必为0）。

  这个矛盾直接推翻了我们最初的假设，因此$\mathbf0 \in F(U)$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Longteng Chen