二阶偏导数对称性的两个证明有效性验证问询

你说得完全没错——证明#1是有效的，而证明#2确实存在逻辑漏洞。下面我来帮你把整个思路理清楚，确认你的判断是正确的：

首先明确我们用到的符号定义：
$\def\RR{\mathbb{R}}$
$\def\bv{\textbf{v}}$
$\def\bw{\textbf{w}}$
$\def\bu{\textbf{u}}$
$\def\bx{\textbf{x}}$
$\def\a{\alpha}$
$\def\D{\Delta}$

定理回顾 #

设 $f: \RR^n \to \RR^m$，若 $\partial_{\bv}\partial_{\bw} f$ 和 $\partial_\bw\partial_\bv f$ 在某开集 $V'$ 上存在且连续，则在 $V'$ 上有
$$\partial_\bv\partial_\bw f = \partial_\bw\partial_\bv f$$

由于只需对 $f: \RR^n \to \RR$ 的情况证明即可，两个证明都聚焦于此。另外，对于函数 $g:\RR^n\to \RR$，向量 $\bu\in\RR^n$ 和非零标量 $h\in\RR$，定义差商：
$$\D_{\bu,h}g(\bx) := \frac{g(\bx+h\bu)-g(\bx)}{h}$$

证明#1的有效性分析 #

证明#1的核心思路是：
$$\partial_\bv\partial_\bw f(\bx)
= \lim_{t\to 0}\D_{\bw,t}\D_{\bv,t}f(\bx)
= \lim_{t\to 0}\D_{\bv,t}\D_{\bw,t}f(\bx)
= \partial_\bw\partial_\bv f(\bx)$$

其中关键的中间步骤是通过中值定理严谨地交换差商和偏导的顺序：
我们选取足够小的 $t$，使得所有 $\bx + t_1\bv + t_2\bw$（$t_1,t_2\in[0,t]$）都落在 $V'$ 内。然后利用中值定理得到：
\begin{equation}
\begin{split}
\D_{\bv,t}\D_{\bw,t}f(\bx)
&= \partial_\bv \D_{\bw,t}f(\bx+\a_\bv t\bv) \
&= \D_{\bw,t}\partial_\bv f(\bx+\a_\bv t\bv) \
&= \partial_\bw\partial_\bv f(\bx+\a_\bv t\bv + \a_\bw t\bw)
\end{split}
\end{equation}
这里的 $\a_\bv,\a_\bw\in (0,1)$ 是固定的常数（由中值定理保证，针对当前的 $\bx$ 和 $t$ 存在这样的固定值）。

你提到的从 $\partial_\bv \D_{\bw,t}f$ 到 $\D_{\bw,t}\partial_\bv f$ 的转换是完全合理的：令 $g(\bx) = \D_{\bw,t}f(\bx)$，那么 $\partial_\bv g(\bx)$ 就是差商 $\frac{\partial_\bv f(\bx+t\bw) - \partial_\bv f(\bx)}{t}$，也就是 $\D_{\bw,t}(\partial_\bv f)(\bx)$，这个转换是直接由偏导和差商的定义推导而来，没有问题。最后当 $t\to0$ 时，$\bx+\a_\bv t\bv + \a_\bw t\bw$ 趋近于 $\bx$，结合混合偏导的连续性，极限就等于 $\partial_\bw\partial_\bv f(\bx)$，整个逻辑链是完整的。

证明#2的逻辑漏洞分析 #

证明#2的问题恰恰出在你指出的地方：当试图用中值定理处理 $\D_{\bv,t}\D_{\bw,t}f(\bx)$ 时，错误地假设了中值定理给出的 $\a_\bw$ 是一个不依赖于位置的常数。

我们展开差商看看细节：
$$\D_{\bv,t}\D_{\bw,t}f(\bx) = \frac{1}{t}\left[\frac{f(\bx+t\bv+t\bw)-f(\bx+t\bv)}{t} - \frac{f(\bx+t\bw)-f(\bx)}{t}\right]$$
对这两个内层的差商分别应用中值定理，得到的是：
$$\D_{\bv,t}\D_{\bw,t}f(\bx) = \frac{1}{t}\Big[\partial_\bw f(\bx+t\bv+\a_\bw(\bx+t\bv)t\bw) - \partial_\bw f(\bx+\a_\bw(\bx)t\bw)\Big]$$
这里的 $\a_\bw(\bx+t\bv)$ 和 $\a_\bw(\bx)$ 是依赖于自变量位置的不同值，不能当成同一个常数来处理。而证明#2中错误地将它们合并成了一个固定的 $\a_\bw$，直接写成 $\D_{\bv,t} \partial_{\bw,t}f(\bx+\a_\bw t\bw)$，这就违反了中值定理的条件——中值点是随自变量变化的，无法保证在整个 $\bv$ 方向的差商中使用同一个中值点。

正是这个错误导致后续的推导不成立，整个证明的逻辑链断裂了。

所以你的判断完全正确：证明#1是严谨有效的，证明#2存在关键的逻辑错误，不能成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sam