关于Marcus《数域》第3章定理17证明关键步骤的疑问

我知道类似的问题之前已经有人问过，但我还是想搞懂Marcus在《数域》（Number Fields）第3章定理17证明里的几个关键步骤，下面我会把证明稍微改写一下，方便大家讨论我的疑问。

定理内容 #

设$I$是戴德金环$R$中的一个理想，$\alpha$是$I$中任意非零元，则存在$\beta \in I$使得$I = (\alpha, \beta)$。

证明梳理（稍作简化） #

证明的核心思路是找到这样的$\beta \in R$，使得$I = \gcd((\alpha), (\beta))$。我知道理想的最大公因子满足$\gcd(J,J') = J+J'$，而$(\alpha) + (\beta) = R\alpha + R\beta = (\alpha, \beta)$，所以只要$I = (\alpha) + (\beta)$就能推出$I = (\alpha, \beta)$，这部分我是明白的。

接下来，把$I$做素理想分解：$I = P_1^{n_1}P_2{n_2}\ldots P_r^{n_r}$，其中$P_i$是不同的素理想。因为$\alpha \in I$，所以$(\alpha)$被每个$P_i^{n_i}$整除；另外设$Q_1,\ldots,Q_s$是那些整除$(\alpha)$但不整除$I$的素理想（如果有的话）。

现在要构造的$\beta$需要满足两个条件：

• 每个$Q_j$都不整除$(\beta)$；
• 对每个$i$，$P_i^{n_i}$是整除$(\beta)$的$P_i$的最高次幂（也就是$\beta \in P_i^{n_i}$但$\beta \notin P_i^{n_i+1}$）。

换句话说，$\beta$要属于$\bigcap_{i=1}^r (P_i^{n_i} - P_i^{n_i+1}) \cap \bigcap_{j=1}^s (R - Q_j)$。

疑问1：为什么要构造这样的$\beta$？ #

我知道理想的整除关系等价于包含关系（$A|B$当且仅当$B \subset A$），但我没法直接看出如果$\beta$不满足这些条件会有什么矛盾，也不明白为什么满足这些条件就能让$I = \gcd((\alpha), (\beta))$。

接下来Marcus说可以用中国剩余定理来构造这个$\beta$：

• 先对每个$i$取$\beta_i \in P_i^{n_i} - P_i^{n_i+1}$（根据唯一分解，这个集合肯定非空）；
• 然后让$\beta$满足同余式：
  $$\beta\equiv \beta_i \bmod P_i^{n_i+1}, \quad i = 1, \ldots, r$$
  $$\beta\equiv 1 \bmod Q_j, \quad j= 1,\ldots,s$$

证明里提到要验证$P_i^{n_i+1}$和$Q_j$两两互素（即任意两个的和是$R$），这部分我知道怎么验证，但我对下面两点有疑问：

疑问2：中国剩余定理怎么帮我们构造出这样的$\beta$？ #

我所理解的中国剩余定理是：设$R$是有单位元的交换环，$I_1,\ldots,I_n$是两两互素的理想，那么有同构
$$R\left/\bigcap_{i=1}^n I_i\right. \cong R/I_1 \times \ldots \times R/I_n$$
对应的典范映射是$r + \bigcap_{i=1}^n I_i \mapsto (r+ I_1, \ldots, r+I_n)$。但我不清楚这个同构怎么对应到找到满足那些同余式的$\beta$。

疑问3：理想模同余的含义？ #

我猜$a \equiv b \bmod I$等价于$a - b \in I$，如果这个是对的，那我还是搞不懂Marcus证明里的那些同余式是怎么来的——为什么要取$\beta \equiv \beta_i \bmod P_i^{n_i+1}$，又为什么要取$\beta \equiv 1 \bmod Q_j$？

希望有人能给我详细解释这些点，非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者stoic-santiago