关于m=3时椭圆曲线E是否存在非挠点的技术问询

先来梳理一下相关背景信息，再聚焦到核心问题：

一、椭圆曲线与7次幂恒等式的关联 #

给定常数整数$m$，椭圆曲线
$$E:=u\big(u+(m⁷⁻¹⁾2\big)\big(u+(m⁷⁺¹⁾2\big)=v^2$$
的非挠点解，可以推导出如下的7次幂多项式恒等式：
$$(a+x)^7+(-a+x)7+(c-x)^7+(-c-x)7\+(b+mx)^7+(-b+mx)7+(d-mx)^7+(-d-mx)7=z^7$$
其中$x$为任意变量，整数$(a,b,c,d,z)$由$u$决定。当$u$是椭圆曲线$E$的5个挠点之一时，这些整数是平凡解；目前已找到$m=2,5$时的非挠点解。

二、多重等次方程的已知解 #

目前已知约30组本原整数解满足如下多重等次方程：
$$(a_1+y)^k+(-a_1+y)k+(a_2-y)^k+(-a_2-y)k\+(a_3+my)^k+(-a_3+my)k+(a_4-my)^k+(-a_4-my)k=\color{blue}0$$
该方程同时对$k=1,3,7$成立，其中约三分之一的解对应的$m$为小整数$\color{blue}{2,3,5}$。

三、两个丢番图方程的关联 #

除了都涉及7次幂和之外，上述两个方程的左边都满足以下结构：

• $x_1+x_2+x_3+x_4 =0$
• $x_5+x_6+x_7+x_8 = 0$
  进一步可推导出：
  $$\frac{x_1+x_2}{x_5+x_6} = \frac{x_3+x_4}{x_7+x_8} = \frac1m$$
  值得注意的是，虽然方程中的$x_i$数值很大，但约三分之一的多重等次解对应的$m$是小整数（2、3、5），这一点颇为有趣。

四、核心问题 #

基于上述关联，当$m=3$时，对应的椭圆曲线
$$E:=u\big(u+(3⁷⁻¹⁾2\big)\big(u+(3⁷⁺¹⁾2\big)=v^2$$
也就是展开后的形式：
$$E:=u\big(u+2186^{2\big)\big(u+2188}2\big)=v^2$$
是否也存在非挠点？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tito Piezas III