使用Fourier-Motzkin消元法求解线性规划最优成本的技术问询

嘿，我来帮你梳理这个线性规划问题的求解过程，顺便解答你对最优解的疑问~

首先，先明确我们要解决的原线性规划问题：

\begin{array}{ll}
\underset{x_1, x_2} {\text{minimize}} & 50 x_1 + 80 x_2 \\
\text{subject to} & 2 x_1 + 8 x_2 \leq 5 \\
& 6 x_1 + 5 x_2 \leq 10 \\
& x_1, x_2 \geq 0
\end{array}

你已经通过Fourier-Motzkin消元法推导出了变量的可行范围：

• (0 \leq x_1 \leq \frac{5}{3})
• (0 \leq x_2 \leq \frac{5}{8})
  并且确认了问题是可行的，这部分的推导完全正确！

接下来你猜测最优解是((0,0))，这个结论其实是对的，但我们可以用完整的Fourier-Motzkin消元流程来严谨验证：

完整消元验证最优成本 #

我们的目标是最小化(z = 50x_1 + 80x_2)，首先把约束条件转化为关于(x_1)的上下界：

1. 从(2x_1 + 8x_2 \leq 5)可得：(x_1 \leq \frac{5 - 8x_2}{2})
2. 从(6x_1 + 5x_2 \leq 10)可得：(x_1 \leq \frac{10 - 5x_2}{6})
3. 非负约束：(x_1 \geq 0)

由于目标函数中(x_1)的系数是正数（50），要最小化(z)，对于任意给定的(x_2)，我们应该取(x_1)的最小可行值，也就是(x_1 = 0)（因为(x_1 \geq 0)）。

此时目标函数简化为(z = 80x_2)，同样(x_2)的系数也是正数（80），所以要最小化(z)，取(x_2)的最小可行值(x_2 = 0)。

代入约束验证：

• (20 + 80 = 0 \leq 5)，满足第一个约束
• (60 + 50 = 0 \leq 10)，满足第二个约束
• (x_1, x_2 \geq 0)，满足非负约束

所以最优解确实是((0,0))，对应的最优成本是(500 + 800 = 0)。

你的逻辑并没有问题，核心原因是目标函数的所有变量系数都是正数，且变量有非负约束，所以最小化的结果必然是所有变量取0的时候（只要这个点在可行域内，而这里显然满足所有约束）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者python-dude153