关于Merzbacher《量子力学》中WKB近似连接公式推导步骤的疑问

API 探路者

2026-4-23

我正在读Merzbacher《量子力学》第二版，在推导Wentzel–Kramers–Brillouin（WKB）近似相关的连接公式时，卡在了一个步骤上，想请教一下大家。

在书的第118页，作者给出波函数的WKB近似形式：
$$
\psi(x) \approx \frac{1}{\sqrt{k(x)}}\exp\left[\pm i\int_{}^{x}{k(x),\mathrm{d}x}\right]
$$
这里积分下限空白应该是指一个常数。其中$k(x)$的定义分两种情况：

当$E>V(x)$时，$k(x) = \left[\frac{2\mu}{\hbar^{{2}}\left[E-V(x)\right]\right]}{1/2}$；
当$E<V(x)$时，$k(x) = -ik(x)$（这里是虚数形式的修正，原表达式的符号需要注意）。

为了推导边界处的“连接公式”，作者建议做如下变量替换：
$$
v(x) = \sqrt{k(x)}\psi(x)\quad \text{和}\quad y = \int_{}^{x}{k(x),\mathrm{d}x}
$$

之后作者说“经过一些推导，我们可以得到替代薛定谔方程的式子”：
$$
\frac{\mathrm{d}^{{2}v}{\mathrm{d}y}{2}} + \left[\frac{1}{4k^{{2}}\left(\frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}y}\right)}{2} - \frac{1}{2k}\frac{\mathrm{d}^{{2}k}{\mathrm{d}y}{2}}+1\right]v = 0
$$

我不太清楚具体是怎么完成这个推导的。我尝试对$v$关于$y$求二阶导数，步骤大概是这样的：
$$
\begin{align*}
\frac{\mathrm{d}^{{2}v}{\mathrm{d}y}{2}} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left[\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y}\right]\
&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left[\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\sqrt{k(x)}\psi(x)\right]\right)\right]\
&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left[\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\left(\frac{1}{2\sqrt{k(x)}}\frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}x}\psi(x) + \sqrt{k(x)}\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}x}\right)\right]\
&=\cdots
\end{align*}
$$

想请教大家几个问题：