关于精确微分判定命题的有效性确认及相关疑问

嘿，我来帮你梳理清楚这个问题！

首先先明确你提到的待判定命题：

假设给定微分 $M(x,y)dx+N(x,y)dy$，若 $M_x \neq N_y$，则该微分不是精确微分。

你的判断是对的——这个命题确实是错误的，下面给你拆解原因：

• 精确微分的核心判定逻辑：当 $M(x,y)$ 和 $N(x,y)$ 在单连通区域内连续，且它们的一阶偏导数也连续时，微分是精确的当且仅当 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$（也就是我们常说的 $M_y = N_x$）。
• 原命题的关键错误：它混淆了偏导数的求导方向。$M_x$ 是 $M$ 对 $x$ 的偏导数，$N_y$ 是 $N$ 对 $y$ 的偏导数，这两者的关系和精确微分的判定完全无关。哪怕 $M_x \neq N_y$，只要满足 $M_y = N_x$，同时符合连续性前提，这个微分依然是精确的。

再来说你问到的连续性条件的作用：
这个条件非常关键！上述的“当且仅当”判定是严格建立在单连通区域内，M、N及其一阶偏导数都连续的基础上的。如果没有这个连续性前提，哪怕满足 $M_y = N_x$，也无法保证微分一定是精确的；反过来，要是不满足连续性，可能会出现一些违背常规判定的特殊情况。不过回到原命题，它的核心错误还是在于搞错了用来判定的偏导数对，而非连续性条件。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user8358234