系数收敛的线性递推关系解的下界估计条件问询

嘿，这个问题抓得很准！先帮你把背景和核心疑问理清楚：

我们有一个线性递推关系：
$$x_{n+1}=a_n x_n + b_n x_{n-1}$$
其中系数满足 $a_n\to a$，$b_n\to b$，对应的特征方程 $x^2-ax-b=0$ 有两个不同的实根 $\lambda_1,\lambda_2$，且满足 $0<|\lambda_1|<1<\lambda_2$。

已知这个递推的任意解 $v_n$ 都满足上界估计：对任意 $\varepsilon>0$，有 $v_n = O((\lambda_2+\varepsilon)^n)$。

不过你也提到了，一般情况下我们没法得到类似的下界 $\Omega((\lambda_2-\varepsilon)^n)$——毕竟零序列就是一个平凡解，或者解可能完全“沿着”小根 $\lambda_1$ 的方向衰减，根本不会趋向无穷。

现在你的核心疑问是：有没有什么简单的条件能保证这个下界成立？比如，如果我们能证明 $v_n \to \infty$，是不是就能推出 $v_n$ 在任意 $\varepsilon$ 的误差范围内，大致和 $\lambda_2^n$ 同阶（也就是满足那个下界估计）？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ofir