请求验证函数极限序列准则的教师证明是否正确

相关定理内容 #

设 $ f:\mathbb{A} \to \mathbb{R} $，其中 $ \mathbb{A} \subseteq \mathbb{R} $，$c$ 是 $\mathbb{A}$ 的聚点，则：
若对 $\mathbb{A}$ 中所有满足 $x_n \neq c$ 且收敛于 $c$ 的序列 $(x_n)$，序列 $(f(x_n))$ 都收敛于 $L$，则 $\lim_{x \to c} f(x)=L$

教师给出的证明过程 #

老师用反证法推导，步骤如下：

1. 先假设 $\lim_{x\to c} f(x)\neq L$
2. 根据函数极限的否定定义，这等价于：

   $\exists \epsilon \in \mathbb{R^+},\forall \delta \in \mathbb{R^+},$ 存在至少一个 $x_{\delta}$ 属于 $c$ 的 $\delta$ 邻域（下标 $\delta$ 表示该 $x$ 依赖于 $\delta$），使得 $|f(x_{\delta})-L|>\epsilon$

3. 老师认为，由此可以构造出一个收敛于 $c$ 的序列 $(x_n)$，其中每一项都是上述的 $x_{\delta}$
4. 依据定理的前提条件，这个序列对应的 $(f(x_n))$ 必须收敛于 $L$
5. 但根据之前的假设，这个序列的每一项都满足 $|f(x_n)-L|>\epsilon$，这就产生了矛盾
6. 因此最初的假设不成立，定理得证

我的疑问 #

我总觉得这个证明要么是错误的，要么至少是不完整的：

• 首先，不能直接默认那些 $x_{\delta}$ 就能直接纳入某个符合定理要求的序列里
• 其次，就算用这些 $x_{\delta}$ 去构造序列，也没法直接保证构造出来的序列一定收敛于 $c$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者nickbros123