如何用幺正算子与辅助系统实现基于Kraus算子的增维量子信道

针对你提出的、输出空间从$H_A$扩展为$H_A \otimes H_B$的Kraus表示量子信道，以下是具体的幺正算子与辅助系统构造步骤：

前提定义 #

设目标保迹信道$\Phi$的Kraus表示为：

$\Phi(\rho) = \sum_k K_k \rho K_k^\dagger$
其中每个$K_k$是从$H_A$到$H_A \otimes H_B$的线性算子，且满足保迹约束：$\sum_k K_k^\dagger K_k = I_A$（$I_A$为$H_A$上的单位算子）。

步骤1：构造辅助系统 #

引入辅助希尔伯特空间$H_E$，其维度等于Kraus算子的数量（若Kraus算子有无穷多个，则取可分无穷维希尔伯特空间）。取$H_E$的一组标准正交基为${|k\rangle}_k$。

步骤2：定义等距算子并扩展为幺正算子 #

首先构造等距算子$V: H_A \to H_A \otimes H_B \otimes H_E$，作用规则为：
$V|\psi\rangle = \sum_k K_k|\psi\rangle \otimes |k\rangle$
验证等距性：对任意$|\psi\rangle,|\varphi\rangle \in H_A$，有$\langle\varphi|V^\dagger V|\psi\rangle = \sum_{k,m} \langle\varphi|K_k^\dagger K_m|\psi\rangle\langle k|m\rangle = \sum_k \langle\varphi|K_k^\dagger K_k|\psi\rangle = \langle\varphi|I_A|\psi\rangle$，满足$V^\dagger V = I_A$。

随后将等距算子$V$扩展为幺正算子$U: H_A \otimes H_E \to H_A \otimes H_B \otimes H_E$——只需在$H_A \otimes H_E$与$V(H_A)$的正交补空间上定义任意幺正映射即可（例如补空间的单位算子），这样$U$就满足$U^\dagger U = UU^\dagger = I_{A\otimes B\otimes E}$。

步骤3：实现目标信道 #

将输入态$\rho$与辅助系统的固定纯态（比如$|0\rangle=|1\rangle \in H_E$）结合，得到初始态$\rho \otimes |0\rangle\langle0|$。对该初始态作用幺正算子$U$后，对辅助系统$H_E$求迹，即可得到目标信道的输出：
$\text{Tr}_E \left[ U(\rho \otimes |0\rangle\langle0|)U^\dagger \right] = \sum_k K_k \rho K_k^\dagger = \Phi(\rho)$

示例验证 #

假设$H_A$、$H_B$均为2维（量子比特空间），目标信道为：

$\Phi(\rho) = (I\otimes|0\rangle\langle0|)\rho(I\otimes|0\rangle\langle0|)^\dagger + (X\otimes|1\rangle\langle1|)\rho(X\otimes|1\rangle\langle1|)^\dagger$
其中$X$为Pauli-X算子。为满足保迹约束，将Kraus算子修正为$K_1=(I\otimes|0\rangle)/\sqrt{2}$、$K_2=(X\otimes|1\rangle)/\sqrt{2}$，此时$K_1^\dagger K_1 + K_2^\dagger K_2 = I_A$。

取2维辅助系统$H_E$，基为${|1\rangle,|2\rangle}$，等距算子$V$定义为：
$V|\psi\rangle = (I\otimes|0\rangle|\psi\rangle\otimes|1\rangle + X\otimes|1\rangle|\psi\rangle\otimes|2\rangle)/\sqrt{2}$
扩展为幺正$U$后，对初始态$\rho \otimes |1\rangle\langle1|$作用$U$并求$H_E$的迹，即可得到$\Phi(\rho)$，符合预期。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者JInyan CHEN