基于伯努利检验的两类硬币识别所需样本量的技术咨询

嘿，这个问题看起来直白，但概率统计里的样本量计算有时候就是容易卡壳，我来帮你理一理思路～

首先明确核心：你要的是假设检验的样本量计算，而不是单纯的置信区间估计——这也是你之前的思路可能不太对的原因，置信区间是针对单个样本的参数范围，而我们需要的是通过样本数据，以95%的置信度区分两个明确的概率分布（p=0.5和p=0.45）。

一、单个硬币抛N次的情况 #

我们需要设定两个对立假设：

• H₀：硬币是公平的（p=0.5）
• H₁：硬币是偏倚的（p=0.45）

目标是找到最小的N，使得：

1. 把公平硬币误判为偏倚的概率≤5%（第一类错误α≤0.05）
2. 把偏倚硬币误判为公平的概率≤5%（第二类错误β≤0.05，即检验功效1-β≥0.95）

近似计算（正态近似法） #

当N足够大时，二项分布X~Bin(N,p)可以近似为正态分布N(Np, Np(1-p))：

• 公平硬币的正面次数X₀近似服从N(0.5N, 0.25N)
• 偏倚硬币的正面次数X₁近似服从N(0.45N, 0.45×0.55N)=N(0.45N, 0.2475N)

我们需要找到N，使得H₀下的5%左侧分位数，大于H₁下的95%右侧分位数（这样两个分布的“决策区域”不重叠，误判概率控制在5%以内）：

0.5N - 1.645×√(0.25N) ≥ 0.45N + 1.645×√(0.2475N)

化简求解：

• 0.05N ≥ 1.645×(0.5√N + √(0.2475)√N)
• 0.05√N ≥ 1.645×(0.5 + 0.4975) ≈ 1.641
• √N ≈ 32.82 → N≈1077

实际用二项分布精确计算的话，N大概在1100左右，和近似值相差不大。

二、两人分别抛硬币的情况（各抛N次） #

你的直觉没错！两组样本的信息确实能让需要的N更小，因为我们可以直接比较两组的正面次数差异，信息利用率更高。

设定场景：X是公平硬币的正面次数（X_{Bin(N,0.5)），Y是偏倚硬币的正面次数（Y}Bin(N,0.45)），我们需要判断哪个来自p=0.5，哪个来自p=0.45。

近似计算（正态近似法） #

X-Y的分布在真实情况下近似服从N(0.5N-0.45N, 0.25N+0.2475N)=N(0.05N, 0.4975N)，标准差≈0.7053√N。

我们需要让“误判”的概率≤5%：即当X确实来自p=0.5时，Y>X的概率≤5%（也就是X-Y>0的概率≥95%）。对应正态分布的分位数条件：

0 ≤ 0.05N - 1.645×0.7053√N

化简求解：

• 0.05√N ≥ 1.645×0.7053≈1.1602
• √N≈23.2 → N≈538

这个数值比单个样本的情况小近一半，完全符合你“信息更多，N更小”的直觉。

关于你之前的置信区间思路 #

你提到的“公平硬币置信下限大于偏倚硬币置信上限”的思路，本质上是一种保守的检验方法——它能保证区分的置信度，但计算出的N会比假设检验的功效分析更大，因为置信区间是针对单个参数的估计范围，没有利用“只有两个可能的p值”这个前提信息。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tim Flack